Найдите количество целых решений неравенства \[x^2 + 6 \le 5x.\]

Привет! Давай решим это неравенство вместе.

1. Преобразуем неравенство

   Для начала перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство в стандартном виде:

   \[x^2 - 5x + 6 \le 0\]
2. Найдем корни квадратного трехчлена

   Теперь найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.

   По теореме Виета:

   \[x_1 + x_2 = 5\] \[x_1 \cdot x_2 = 6\]

   Подходящие корни: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).

3. Определим интервалы

   Так как неравенство нестрогое (\(\le\)), корни включаются в решение. На числовой прямой отмечаем точки 2 и 3, и они разбивают прямую на три интервала:

   • \((-\infty; 2]\)
   • \[2; 3\]
   • \[3; +\infty)\)
4. Проверим интервалы

   Нам нужно решить неравенство \(x^2 - 5x + 6 \le 0\). Парабола \(y = x^2 - 5x + 6\) имеет ветви, направленные вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный. Следовательно, между корнями парабола находится ниже оси x (или на ней).

   Таким образом, решением неравенства является интервал \[2; 3\].

5. Найдем целые решения

   Нам нужно найти количество целых решений неравенства на интервале \[2; 3\]. Целые числа на этом интервале: 2 и 3.

Таким образом, количество целых решений равно 2.

Ответ: 2

Ты молодец! У тебя всё получится!