1086 Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты расположения заданных точек и определить координаты четвертой вершины параллелограмма в каждом случае. Пусть заданные вершины параллелограмма будут A(-4; 4), B(-5; 1) и C(-1; 5). 1. Вариант 1: AB и AC - стороны параллелограмма. Тогда, чтобы найти точку D, нужно воспользоваться свойством параллелограмма, что противоположные стороны параллельны и равны. Вектор $$\vec{AB}$$ = (-5 - (-4); 1 - 4) = (-1; -3). Тогда $$\vec{CD}$$ должен быть равен $$\vec{AB}$$. Пусть D(x; y), тогда $$\vec{CD}$$ = (x - (-1); y - 5) = (x + 1; y - 5). Получаем систему уравнений: $$x + 1 = -1$$ $$y - 5 = -3$$ Решая систему, находим x = -2, y = 2. Итак, D(-2; 2). 2. Вариант 2: BA и BC - стороны параллелограмма. Тогда, чтобы найти точку D, нужно воспользоваться свойством параллелограмма, что противоположные стороны параллельны и равны. Вектор $$\vec{BA}$$ = (-4 - (-5); 4 - 1) = (1; 3). Тогда $$\vec{CD}$$ должен быть равен $$\vec{BA}$$. Пусть D(x; y), тогда $$\vec{CD}$$ = (x - (-1); y - 5) = (x + 1; y - 5). Получаем систему уравнений: $$x + 1 = 1$$ $$y - 5 = 3$$ Решая систему, находим x = 0, y = 8. Итак, D(0; 8). 3. Вариант 3: CA и CB - стороны параллелограмма. Тогда, чтобы найти точку D, нужно воспользоваться свойством параллелограмма, что противоположные стороны параллельны и равны. Вектор $$\vec{CA}$$ = (-4 - (-1); 4 - 5) = (-3; -1). Тогда $$\vec{BD}$$ должен быть равен $$\vec{CA}$$. Пусть D(x; y), тогда $$\vec{BD}$$ = (x - (-5); y - 1) = (x + 5; y - 1). Получаем систему уравнений: $$x + 5 = -3$$ $$y - 1 = -1$$ Решая систему, находим x = -8, y = 0. Итак, D(-8; 0). Таким образом, существует три возможных координаты для четвертой вершины параллелограмма: (-2; 2), (0; 8) и (-8; 0). Следовательно, задача имеет три решения.