Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если: а) A (3;-1), B(-2;4); б) A(3;4;-6), B(-5;-3;-8).

Решение:

Для нахождения середины отрезка (M) с координатами \( (x_M; y_M; z_M) \) и длины отрезка (d) используются следующие формулы:

Середина отрезка AB: \( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \), \( y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \) (для 2D) или \( x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \), \( y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \), \( z_M = \frac{z_A + z_B}{2} \) (для 3D).

Длина отрезка AB: \( d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \) (для 2D) или \( d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \) (для 3D).

а) A (3;-1), B(-2;4)

1. Найдём координаты середины отрезка AB:
• \( x_M = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
• \( y_M = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)
• Координаты середины: \( M(0.5; 1.5) \)
2. Найдём длину отрезка AB:
• \( d = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

б) A(3;4;-6), B(-5;-3;-8)

1. Найдём координаты середины отрезка AB:
• \( x_M = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• \( y_M = \frac{4 + (-3)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
• \( z_M = \frac{-6 + (-8)}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
• Координаты середины: \( M(-1; 0.5; -7) \)
2. Найдём длину отрезка AB:
• \( d = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (-3 - 4)^2 + (-8 - (-6))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 49 + 4} = \sqrt{117} \)

Ответ: а) Середина отрезка AB: \( M(0.5; 1.5) \), длина отрезка AB: \( 5\sqrt{2} \). б) Середина отрезка AB: \( M(-1; 0.5; -7) \), длина отрезка AB: \( \sqrt{117} \).