Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = √x и y = x - 6.

Решение:

Для нахождения координат точек пересечения графиков приравняем выражения для \( y \):

\[ \sqrt{x} = x - 6 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ x = (x - 6)^2 \]\[ x = x^2 - 12x + 36 \]\[ x^2 - 12x - x + 36 = 0 \]\[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(1)(36) = 169 - 144 = 25 \]\[ \sqrt{D} = 5 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Проверим полученные значения \( x \) в исходном уравнении \( \sqrt{x} = x - 6 \).

Для \( x = 9 \):

\[ \sqrt{9} = 3 \]\[ 9 - 6 = 3 \]

\( 3 = 3 \). Значит, \( x = 9 \) — корень.

Для \( x = 4 \):

\[ \sqrt{4} = 2 \]\[ 4 - 6 = -2 \]

\( 2 \neq -2 \). Значит, \( x = 4 \) — посторонний корень.

Теперь найдём значение \( y \) для \( x = 9 \):

\[ y = \sqrt{9} = 3 \]

Таким образом, точка пересечения имеет координаты \( (9, 3) \).

Ответ: (9, 3).