Найдите координаты точки пересечения графиков функций y=\sqrt{x} и y=x-2

Привет! Давай найдем координаты точки пересечения этих графиков. Это будет полезно для понимания функций и их взаимосвязи.

Пошаговое решение:

1. Аналитическое решение:

Чтобы найти точки пересечения графиков функций \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x - 2 \), нужно решить уравнение:

\[ \sqrt{x} = x - 2 \]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x})^2 = (x - 2)^2 \]\[ x = x^2 - 4x + 4 \]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -5, c = 4 \):

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Теперь проверим каждый корень, подставив его в исходное уравнение \( \sqrt{x} = x - 2 \):

• Для \( x = 4 \):
  \[ \sqrt{4} = 4 - 2 \]
  \[ 2 = 2 \] (верно)
• Для \( x = 1 \):
  \[ \sqrt{1} = 1 - 2 \]
  \[ 1 = -1 \] (неверно)

Таким образом, \( x = 4 \) является единственным решением.

2. Найдем значение y:

Подставим \( x = 4 \) в любое из исходных уравнений, например, \( y = x - 2 \):

\[ y = 4 - 2 = 2 \]

Итак, точка пересечения графиков имеет координаты \( (4, 2) \).

Ответ: (4, 2)