Найдите координаты точки пересечения прямых АВ и СК, если А(-2; 2), B(2; -1,5), C(-5; 0), K( 2 ; 3).

Решение:

Для нахождения точки пересечения прямых АВ и СК, сначала найдём уравнения этих прямых.

1. Уравнение прямой АВ:

Через точки \( A(-2; 2) \) и \( B(2; -1,5) \).

Найдём угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1,5 - 2}{2 - (-2)} = \frac{-3,5}{4} = -0,875 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k_{AB}(x - x_1) \).

\( y - 2 = -0,875(x - (-2)) \)

\( y - 2 = -0,875x - 1,75 \)

\( y = -0,875x + 0,25 \) (1)

2. Уравнение прямой СК:

Через точки \( C(-5; 0) \) и \( K(2; 3) \).

Найдём угловой коэффициент \( k_{CK} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{2 - (-5)} = \frac{3}{7} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k_{CK}(x - x_1) \).

\( y - 0 = \frac{3}{7}(x - (-5)) \)

\( y = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \) (2)

3. Найдём точку пересечения:

Приравняем уравнения (1) и (2):

\( -0,875x + 0,25 = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \)

Переведём десятичные дроби в обыкновенные: \( -0,875 = -\frac{7}{8} \), \( 0,25 = \frac{1}{4} \).

\( -\frac{7}{8}x + \frac{1}{4} = \frac{3}{7}x + \frac{15}{7} \)

Приведём к общему знаменателю (56):

\( -\frac{49}{56}x + \frac{14}{56} = \frac{24}{56}x + \frac{120}{56} \)

Умножим обе стороны на 56:

\( -49x + 14 = 24x + 120 \)

\( 14 - 120 = 24x + 49x \)

\( -106 = 73x \)

\( x = -\frac{106}{73} \) (приблизительно -1,45)

Подставим значение x в уравнение (1) (или (2)):

\( y = -\frac{7}{8} \cdot (-\frac{106}{73}) + \frac{1}{4} \)

\( y = \frac{7 \cdot 106}{8 \cdot 73} + \frac{1}{4} = \frac{742}{584} + \frac{1}{4} = \frac{371}{292} + \frac{73}{292} = \frac{444}{292} = \frac{111}{73} \) (приблизительно 1,52)

Точка пересечения приблизительно \( (-1,45; 1,52) \).

Среди предложенных вариантов нет точного совпадения. Проверим расчеты.

При \( x = -1,5 = -3/2 \):

Прямая АВ: \( y = -0,875(-1,5) + 0,25 = -(-1,3125) + 0,25 = 1,3125 + 0,25 = 1,5625 \). Это близко к 1,5.

Прямая СК: \( y = \frac{3}{7}(-1,5) + \frac{15}{7} = \frac{3}{7}(-\frac{3}{2}) + \frac{15}{7} = -\frac{9}{14} + \frac{30}{14} = \frac{21}{14} = 1,5 \).

Таким образом, при \( x = -1,5 \), координата \( y \) для прямой СК равна 1,5. Проверим, совпадает ли это с координатой \( y \) прямой АВ.

\( y = -0,875(-1,5) + 0,25 = 1,3125 + 0,25 = 1,5625 \).

Похоже, один из вариантов ответа является приближенным.

Проверим вариант d. (-1,5; 1,5)

Для прямой АВ: \( y = -0,875(-1,5) + 0,25 = 1,3125 + 0,25 = 1,5625 \). Почти 1,5.

Для прямой СК: \( y = \frac{3}{7}(-1,5) + \frac{15}{7} = \frac{3}{7}(-\frac{3}{2}) + \frac{15}{7} = -\frac{9}{14} + \frac{30}{14} = \frac{21}{14} = 1,5 \).

Таким образом, точка (-1,5; 1,5) лежит на прямой СК, и очень близко к прямой АВ. Вероятно, в задании предполагается именно этот ответ как наиболее близкий.

Примечание: В задании могут быть неточности, приводящие к неидеальному совпадению. Однако, вариант d. является наиболее близким к точке пересечения.

Ответ: d. (-1,5; 1,5)