1. Найдите координаты вектора CD, если С(6,3,-2) и D(2,4,-5). 2. Даны векторы а {5;-1;2} и в {3;2;-4). Найдите координаты и длину вектора 26-2. 3. а). Найдите скалярное произведение векторов а и Б, если длины векторов равны а = 6, 6 = 4 и угол между ними равен (а^ 6) = 135°. б) Найдите скалярное произведение векторов а и Б, если (2;-1;3) и Б-2:2:3). 4. Найдите угол между векторами АВ и СД, если А(1;1;2), В(0;1;1), С(2;-2;2) и D(2;-3;1). 5. Найдите значение т, при котором векторы = 47-36 и 2 (2:1:8) перпендикулярны. 6. Коллинеарны ли векторы: а) а{-5;3;-1} и Б {6;-10;-2}; б) а {-2;3;7} и Б (-1;1,5;3,5}?

Ответ:

Решение:

1. Найдём координаты вектора \(\overrightarrow{CD}\):

Координаты вектора находятся как разность координат конца и начала:

\[\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C)\]

\[\overrightarrow{CD} = (2 - 6; 4 - 3; -5 - (-2))\]

\[\overrightarrow{CD} = (-4; 1; -3)\]

2. Найдём координаты и длину вектора \(2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\):

Сначала найдем координаты вектора \(2\overrightarrow{b}\):

\[2\overrightarrow{b} = 2 \cdot (3; 2; -4) = (6; 4; -8)\]

Теперь найдем координаты вектора \(2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\):

\[2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = (6 - 5; 4 - (-1); -8 - 2) = (1; 5; -10)\]

Длина вектора находится по формуле:

\[|2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

\[|2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 25 + 100} = \sqrt{126}\]

3. а) Найдём скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если известны их длины и угол между ними:

Скалярное произведение находится по формуле:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\alpha)\]

Подставляем известные значения:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 6 \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ) = 24 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -12\sqrt{2}\]

б) Найдём скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если известны их координаты:

Скалярное произведение находится по формуле:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b\]

Подставляем известные значения:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 3 = -4 - 2 + 9 = 3\]

4. Найдём угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

Сначала найдём координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

\[\overrightarrow{AB} = (0 - 1; 1 - 1; 1 - 2) = (-1; 0; -1)\]

\[\overrightarrow{CD} = (2 - 2; -3 - (-2); 1 - 2) = (0; -1; -1)\]

Косинус угла между векторами находится по формуле:

\[\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}\]

Найдём скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1\]

Найдём длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\):

\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\]

\[|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}\]

Подставляем известные значения в формулу косинуса угла между векторами:

\[\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]

Следовательно, угол \(\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ\)

5. Найдём значение m, при котором векторы \(\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}\) и \(\overrightarrow{c} = (2; m; 8)\) перпендикулярны:

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0\]

Запишем координаты вектора \(\overrightarrow{a}\):

\[\overrightarrow{a} = (0; 4; -3)\]

Тогда скалярное произведение равно:

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \cdot 2 + 4 \cdot m + (-3) \cdot 8 = 0\]

\[4m - 24 = 0\]

\[4m = 24\]

\[m = 6\]

6. Проверим, коллинеарны ли векторы:

а) \(\overrightarrow{a} = (-5; 3; -1)\) и \(\overrightarrow{b} = (6; -10; -2)\)

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

\[\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b}\]

\[\frac{-5}{6} = \frac{3}{-10} = \frac{-1}{-2}\]

\[-\frac{5}{6}
eq -\frac{3}{10}
eq \frac{1}{2}\]

Векторы не коллинеарны.

б) \(\overrightarrow{a} = (-2; 3; 7)\) и \(\overrightarrow{b} = (-1; 1.5; 3.5)\)

\[\frac{-2}{-1} = \frac{3}{1.5} = \frac{7}{3.5}\]

\[2 = 2 = 2\]

Векторы коллинеарны.

Ответ: