Найдите корень уравнения (1/16)^x=8^(x-1).

Решение:

Для решения уравнения приведём обе части к одному основанию. Заметим, что \( \frac{1}{16} = (2^{-4}) \) и \( 8 = 2^3 \).

1. Подставим эти значения в уравнение: \( (2^{-4})^x = (2^3)^{x-1} \)
2. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m · n} \): \( 2^{-4x} = 2^{3(x-1)} \)
3. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \( -4x = 3(x-1) \)
4. Раскроем скобки: \( -4x = 3x - 3 \)
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а константу — в другую: \( 3 = 3x + 4x \)
6. Сложим подобные: \( 3 = 7x \)
7. Найдём \( x \), разделив обе части на 7: \( x = \frac{3}{7} \)

Ответ: \( x = \frac{3}{7} \).