Найдите корень уравнения (1/5)^(3x+4) : (1/5)^(-5x-2) = 1/125.

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами степеней. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

В нашем случае основание \( a = \frac{1}{5} \), показатель первой степени \( m = 3x+4 \), показатель второй степени \( n = -5x-2 \). Значит, левая часть уравнения будет:

\( \left( \frac{1}{5} \right)^{3x+4 - (-5x-2)} = \left( \frac{1}{5} \right)^{3x+4+5x+2} = \left( \frac{1}{5} \right)^{8x+6} \)

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Число 125 можно представить как степень числа 5:

\( 125 = 5^3 \)

Следовательно, \( \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = \left( \frac{1}{5} \right)^3 \)

Теперь наше уравнение выглядит так:

\( \left( \frac{1}{5} \right)^{8x+6} = \left( \frac{1}{5} \right)^3 \)

Поскольку основания степеней равны, можем приравнять показатели степеней:

\( 8x+6 = 3 \)

Решим полученное линейное уравнение:

\( 8x = 3 - 6 \)

\( 8x = -3 \)

\( x = \frac{-3}{8} \)

Ответ: x = -3/8.