Найдите корень уравнения: 1) \(\frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18}\) 2) \(\frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y - 4 = 1\frac{1}{7}\) 3) \(n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7}\) 4) \(y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3}\) 5) \(\frac{2}{7}c + \frac{2}{3}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2}\) 6) \(\frac{5}{8}x + x - \frac{3}{4}x = 1\frac{3}{4}\)

Решение:

1) \(\frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18}\)

1. Приведём подобные слагаемые: \(\frac{1+4}{9}x = \frac{5}{9}x\).
2. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \(3\frac{1}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 1}{18} = \frac{54+1}{18} = \frac{55}{18}\).
3. Получим уравнение: \(\frac{5}{9}x = \frac{55}{18}\).
4. Чтобы найти \(x\), разделим \(\frac{55}{18}\) на \(\frac{5}{9}\): \(x = \frac{55}{18} \div \frac{5}{9} = \frac{55}{18} \cdot \frac{9}{5} = \frac{55 \cdot 9}{18 \cdot 5} = \frac{11 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{11}{2}\).

Ответ: \(x = \frac{11}{2}\)

2) \(\frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y - 4 = 1\frac{1}{7}\)

1. Сложим дроби при \(y\), приведя их к общему знаменателю 21: \(\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3}y + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}y = \frac{15}{21}y + \frac{14}{21}y = \frac{15+14}{21}y = \frac{29}{21}y\).
2. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \(1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}\).
3. Перенесём -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком: \(\frac{29}{21}y = \frac{8}{7} + 4\).
4. Приведём к общему знаменателю правую часть: \(\frac{8}{7} + \frac{4 \cdot 7}{7} = \frac{8+28}{7} = \frac{36}{7}\).
5. Получим уравнение: \(\frac{29}{21}y = \frac{36}{7}\).
6. Чтобы найти \(y\), разделим \(\frac{36}{7}\) на \(\frac{29}{21}\): \(y = \frac{36}{7} \div \frac{29}{21} = \frac{36}{7} \cdot \frac{21}{29} = \frac{36 \cdot 21}{7 \cdot 29} = \frac{36 \cdot 3}{29} = \frac{108}{29}\).

Ответ: \(y = \frac{108}{29}\)

3) \(n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7}\)

1. Приведём подобные слагаемые: \((1 + \frac{5}{14})n = \frac{14+5}{14}n = \frac{19}{14}n\).
2. Получим уравнение: \(\frac{19}{14}n = \frac{1}{7}\).
3. Чтобы найти \(n\), разделим \(\frac{1}{7}\) на \(\frac{19}{14}\): \(n = \frac{1}{7} \div \frac{19}{14} = \frac{1}{7} \cdot \frac{14}{19} = \frac{14}{7 \cdot 19} = \frac{2}{19}\).

Ответ: \(n = \frac{2}{19}\)

4) \(y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3}\)

1. Приведём подобные слагаемые: \((1 - \frac{1}{9})y = \frac{9-1}{9}y = \frac{8}{9}y\).
2. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \(5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15+1}{3} = \frac{16}{3}\).
3. Получим уравнение: \(\frac{8}{9}y = \frac{16}{3}\).
4. Чтобы найти \(y\), разделим \(\frac{16}{3}\) на \(\frac{8}{9}\): \(y = \frac{16}{3} \div \frac{8}{9} = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6\).

Ответ: \(y = 6\)

5) \(\frac{2}{7}c + \frac{2}{3}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2}\)

1. Приведём дроби к общему знаменателю 21: \(\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3}c + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}c - \frac{11}{21}c = \frac{6}{21}c + \frac{14}{21}c - \frac{11}{21}c = \frac{6+14-11}{21}c = \frac{9}{21}c\).
2. Сократим дробь: \(\frac{9}{21}c = \frac{3}{7}c\).
3. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \(3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}\).
4. Получим уравнение: \(\frac{3}{7}c = \frac{7}{2}\).
5. Чтобы найти \(c\), разделим \(\frac{7}{2}\) на \(\frac{3}{7}\): \(c = \frac{7}{2} \div \frac{3}{7} = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{49}{6}\).

Ответ: \(c = \frac{49}{6}\)

6) \(\frac{5}{8}x + x - \frac{3}{4}x = 1\frac{3}{4}\)

1. Приведём дроби к общему знаменателю 8: \(\frac{5}{8}x + \frac{8}{8}x - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}x = \frac{5}{8}x + \frac{8}{8}x - \frac{6}{8}x = \frac{5+8-6}{8}x = \frac{7}{8}x\).
2. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: \(1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}\).
3. Получим уравнение: \(\frac{7}{8}x = \frac{7}{4}\).
4. Чтобы найти \(x\), разделим \(\frac{7}{4}\) на \(\frac{7}{8}\): \(x = \frac{7}{4} \div \frac{7}{8} = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{7 \cdot 8}{4 \cdot 7} = 2\).

Ответ: \(x = 2\)