Найдите корень уравнения 2^(5x-4) = 16^(x+3)

Решение:

Для решения уравнения приведём обе части к одному основанию. Так как \( 16 = 2^4 \), уравнение примет вид:

\[ 2^{5x-4} = (2^4)^{x+3} \]

Используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \), получаем:

\[ 2^{5x-4} = 2^{4(x+3)} \]

Теперь, когда основания одинаковы, мы можем приравнять показатели степеней:

\[ 5x - 4 = 4(x+3) \]

Раскроем скобки:

\[ 5x - 4 = 4x + 12 \]

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 5x - 4x = 12 + 4 \]

\[ x = 16 \]

Проверим корень:

Левая часть: \( 2^{5 \cdot 16 - 4} = 2^{80 - 4} = 2^{76} \).

Правая часть: \( 16^{16+3} = 16^{19} = (2^4)^{19} = 2^{4 \cdot 19} = 2^{76} \).

Так как левая и правая части равны, корень найден верно.

Ответ: 16