Найдите корень уравнения $$9^{x-12} = 27$$.

Привет! Давай решим это показательное уравнение вместе.

Уравнение:

• \[ 9^{x-12} = 27 \]

Шаг 1: Приведем основания к одному виду.

Мы знаем, что 9 можно представить как $$3^2$$, а 27 как $$3^3$$. Подставим это в наше уравнение:

• \[ (3^2)^{x-12} = 3^3 \]

Шаг 2: Используем свойство степеней.

При возведении степени в степень, показатели перемножаются:

• \[ 3^{2(x-12)} = 3^3 \]
• \[ 3^{2x-24} = 3^3 \]

Шаг 3: Приравниваем показатели.

Когда основания одинаковые, мы можем приравнять показатели степеней:

• \[ 2x - 24 = 3 \]

Шаг 4: Решаем линейное уравнение.

Теперь у нас обычное линейное уравнение:

1. Перенесем -24 в правую часть с противоположным знаком:
• \[ 2x = 3 + 24 \]
• \[ 2x = 27 \]
2. Разделим обе части на 2, чтобы найти x:
• \[ x = \frac{27}{2} \]
• \[ x = 13.5 \]

Шаг 5: Проверка (необязательно, но полезно).

Подставим $$x = 13.5$$ в исходное уравнение:

• \[ 9^{13.5-12} = 9^{1.5} = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27 \]

Все верно!

Ответ: 13.5