9. Найдите корень уравнения (х+6)² = (11-x)². Ответ: ____________

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

\[(x+6)^2 = (11-x)^2\] \[x^2 + 12x + 36 = 121 - 22x + x^2\]

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[x^2 + 12x + 36 - 121 + 22x - x^2 = 0\]

Приведем подобные члены:

\[34x - 85 = 0\]

Решим полученное уравнение:

\[34x = 85\] \[x = \frac{85}{34}\] \[x = \frac{5 \cdot 17}{2 \cdot 17}\] \[x = \frac{5}{2} = 2.5\]

Используем формулу разности квадратов:

\[(x+6)^2 - (11-x)^2 = 0\] \[((x+6) - (11-x))((x+6) + (11-x)) = 0\] \[(x+6-11+x)(x+6+11-x) = 0\] \[(2x-5)(17) = 0\] \[2x - 5 = 0\] \[2x = 5\] \[x = \frac{5}{2} = 2.5\]

Рассмотрим второй случай:

\[(x+6) = -(11-x)\] \[x+6 = -11 + x\]

Первый корень:

\[x = 2.5\]

Второй корень:

\[(x + 6) = -(11 - x)\] \[x + 6 = -11 + x\] \[x + 6 = -11 + x\] \[x - x = -11 - 6\] \[0 = -17\]

Это неверно, значит, корней нет.

Рассмотрим уравнение (x+6) = ±(11-x)

Случай 1: (x+6) = (11-x)

\[x + 6 = 11 - x\] \[2x = 5\] \[x = 2.5\]

Случай 2: (x+6) = -(11-x)

\[x + 6 = -11 + x\] \[x + 6 = -11 + x\]

Решим уравнение:

\[(x+6) = (11-x)\] \[x+6 = 11-x\] \[2x = 5\] \[x_1 = 2.5\] \[(x+6) = -(11-x)\] \[x+6 = -11+x\] \[x-x = -11-6\] \[0 = -17\]

Уравнение не имеет решения. Используем другой подход. Перенесем все в левую часть:

\[(x+6)^2 - (11-x)^2 = 0\] \[((x+6) - (11-x))((x+6) + (11-x)) = 0\] \[(x+6-11+x)(x+6+11-x) = 0\] \[(2x-5)(17) = 0\] \[2x-5 = 0\] \[2x = 5\] \[x = 2.5\]

Используем формулу разности квадратов:

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\] \[(x+6)^2 - (11-x)^2 = 0\] \[((x+6) - (11-x))((x+6) + (11-x)) = 0\] \[(x+6-11+x)(x+6+11-x) = 0\] \[(2x-5)(17) = 0\]

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

\[2x-5 = 0\] \[2x = 5\] \[x_1 = 2.5\]

Второй случай:

\[x+6 = -11+x\] \[x-x = -11-6\] \[0 = -17\]

Это неверно, значит, только один корень.

Давайте решим полным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых:

\[(x+6)^2 = (11-x)^2\] \[x^2 + 12x + 36 = 121 - 22x + x^2\] \[x^2 + 12x + 36 - 121 + 22x - x^2 = 0\] \[34x - 85 = 0\] \[34x = 85\] \[x = \frac{85}{34} = \frac{5}{2} = 2.5\]

Снова получаем 2.5.