Найдите корень уравнения log_2(x-1)+log_2(x-3)=3.

Решение:

Для решения уравнения \( \log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3 \) воспользуемся свойствами логарифмов.

1. ОДЗ (Область допустимых значений):
   Так как аргументы логарифмов должны быть положительными:
   \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
   \( x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)
   Объединяя эти условия, получаем \( x > 3 \).
2. Сложение логарифмов:
   По свойству \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \), преобразуем левую часть уравнения:
   \[ \log_2((x-1)(x-3)) = 3 \]
3. Переход от логарифмического к степенному виду:
   По определению логарифма \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \), получаем:
   \[ (x-1)(x-3) = 2^3 \]
4. Решение квадратного уравнения:
   Раскроем скобки и приведём к стандартному виду:
   \[ x^2 - 3x - x + 3 = 8 \]
   \[ x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \]
   \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]
5. Найдём корни квадратного уравнения:
   Используем теорему Виета или дискриминант.
   По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -5 \).
   Корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).
6. Проверка по ОДЗ:
   Напомним, что \( x > 3 \).
   Корень \( x_1 = 5 \) удовлетворяет условию \( x > 3 \).
   Корень \( x_2 = -1 \) не удовлетворяет условию \( x > 3 \), поэтому он является посторонним.

Ответ: x = 5.