Найдите корень уравнения log_3 x+log_3 (x-2)=2.

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Для его решения воспользуемся свойством логарифма суммы: \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \).

1. Применим свойство логарифма к левой части уравнения: \( \log_3 (x(x-2)) = 2 \)
2. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному, используя определение логарифма \( \log_a b = c \iff a^c = b \): \( x(x-2) = 3^2 \)
3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 - 2x = 9 \) \( x^2 - 2x - 9 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a=1 \), \( b=-2 \), \( c=-9 \).
5. Вычислим дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
7. Найдём корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
8. \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + \sqrt{40}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10} \)
9. \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - \sqrt{40}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{2} = 1 - \sqrt{10} \)
10. Проверим ОДЗ (область допустимых значений). Логарифм определён только для положительных чисел. Таким образом, \( x > 0 \) и \( x-2 > 0 \), что означает \( x > 2 \).
11. Проверим корни: \( 1 + \sqrt{10} \). Так как \( \sqrt{10} \) примерно равно \( 3.16 \), то \( 1 + \sqrt{10} \) примерно \( 4.16 \). Это значение больше 2, поэтому \( x_1 \) является корнем уравнения.
12. \( 1 - \sqrt{10} \) примерно равно \( 1 - 3.16 = -2.16 \). Это значение меньше 2, поэтому \( x_2 \) не является корнем уравнения.

Ответ: \( 1 + \sqrt{10} \)