Найдите корень уравнения \(\log_3 x+\log_3(x-2)=2\). Варианты ответа: \(1+\sqrt{10}\); \(1-\sqrt{10}\); \(\sqrt{10}\); 5.

ОДЗ: \(x>2\).

\[\log_3 x+\log_3(x-2)=\log_3\bigl(x(x-2)\bigr)=2.\]

Следовательно, \(x(x-2)=3^2=9\), то есть \(x^2-2x-9=0\). Отсюда \(x=1\pm\sqrt{10}\). Условию \(x>2\) удовлетворяет только \(x=1+\sqrt{10}\).

Ответ: \(1+\sqrt{10}\).