Найдите корень уравнения log2(x-1)+log 2(x-3)=3.

Решение:

Для решения логарифмического уравнения \( \log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3 \) сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \( x - 1 > 0 \) => \( x > 1 \)
• \( x - 3 > 0 \) => \( x > 3 \)

Таким образом, ОДЗ: \( x > 3 \).

Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \):

\[ \log_2((x-1)(x-3)) = 3 \]\[ \log_2(x^2 - 3x - x + 3) = 3 \]\[ \log_2(x^2 - 4x + 3) = 3 \]

Переведём логарифмическое уравнение в показательное, используя определение логарифма \( \log_a b = c \iff a^c = b \):

\[ x^2 - 4x + 3 = 2^3 \]\[ x^2 - 4x + 3 = 8 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \]\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна \( -(-4)/1 = 4 \), а произведение равно \( -5/1 = -5 \). Подбираем корни:

• \( x_1 = 5 \)
• \( x_2 = -1 \)

Проверим корни по ОДЗ \( x > 3 \):

• \( x_1 = 5 \) удовлетворяет ОДЗ (\( 5 > 3 \)).
• \( x_2 = -1 \) не удовлетворяет ОДЗ (\( -1 \not> 3 \)).

Следовательно, корень уравнения равен 5.

Ответ: 5