Найдите корень уравнения: log2 (x/6) = log0.5(x + 1). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Привет! Давай разберём это логарифмическое уравнение по шагам.

Наше уравнение:

• \[ \log_2 \left( \frac{x}{6} \right) = \log_{0.5}(x+1) \]

Шаг 1: Преобразуем основания логарифмов.

Мы знаем, что 0.5 = 1/2 = 2⁻¹. Используем свойство логарифма ext{\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b}:

• \[ \log_{0.5}(x+1) = \log_{2^{-1}}(x+1) = \frac{1}{-1} \log_2(x+1) = -\log_2(x+1) \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

• \[ \log_2 \left( \frac{x}{6} \right) = -\log_2(x+1) \]

Шаг 2: Перенесём всё в одну сторону.

Чтобы избавиться от минуса, перенесём правую часть в левую:

• \[ \log_2 \left( \frac{x}{6} \right) + \log_2(x+1) = 0 \]

Шаг 3: Применим свойство логарифма суммы.

Свойство суммы логарифмов: ext{\log_a M + \log_a N = \log_a (M imes N)}:

• \[ \log_2 \left( \frac{x}{6} \times (x+1) \right) = 0 \]

Шаг 4: Избавимся от логарифма.

Если ext{\log_a b = c}, то ext{b = a^c}. В нашем случае, ext{a=2, b = \frac{x(x+1)}{6}, c=0}:

• \[ \frac{x(x+1)}{6} = 2^0 \]
• \[ \frac{x(x+1)}{6} = 1 \]

Шаг 5: Решим полученное квадратное уравнение.

• \[ x(x+1) = 6 \]
• \[ x^2 + x = 6 \]
• \[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Подходящие числа — это 2 и -3.

• \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -3 \]

Шаг 6: Проверим область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

• 1. ext{\frac{x}{6} > 0} => ext{x > 0}
• 2. ext{x+1 > 0} => ext{x > -1}

Объединяя эти условия, получаем, что ext{x > 0}.

Теперь проверим наши корни:

• ext{x_1 = 2}: 2 > 0. Подходит!
• ext{x_2 = -3}: -3 < 0. Не подходит!

Шаг 7: Выберем меньший корень (если их два).

У нас остался только один корень, который удовлетворяет ОДЗ — это 2.

Ответ: 2