3. Найдите корень уравнения log3x-53 = log.x-1√3, применяя свой- ство логарифма (переход к новому основанию). Сделайте про- верку.

Давай решим уравнение \(log_{3x-5} 3 = log_{x-1} \sqrt{3}\).

Сначала преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что \(\sqrt{3} = 3^{1/2}\), поэтому:

\[log_{3x-5} 3 = log_{x-1} 3^{1/2}\]

Теперь используем свойство логарифма \(log_a b^c = c log_a b\):

\[log_{3x-5} 3 = \frac{1}{2} log_{x-1} 3\]

Используем переход к новому основанию (например, к основанию 3):

\[\frac{log_3 3}{log_3 (3x-5)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{log_3 3}{log_3 (x-1)}\]

Поскольку \(log_3 3 = 1\), уравнение упрощается до:

\[\frac{1}{log_3 (3x-5)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{log_3 (x-1)}\]

Перевернем обе части уравнения:

\[log_3 (3x-5) = 2 log_3 (x-1)\]

Используем свойство логарифма \(a log_b c = log_b c^a\):

\[log_3 (3x-5) = log_3 (x-1)^2\]

Теперь можем убрать логарифмы, так как основания одинаковые:

\[3x-5 = (x-1)^2\]

\[3x-5 = x^2 - 2x + 1\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\]

Найдем корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Теперь проверим корни на соответствие области определения логарифмов:

Для \(log_{3x-5} 3\):

\[3x - 5 > 0\], \(3x - 5
eq 1\)

\[x > \frac{5}{3}\], \(x
eq 2\)

Для \(log_{x-1} \sqrt{3}\):

\[x - 1 > 0\], \(x - 1
eq 1\)

\[x > 1\], \(x
eq 2\)

Проверим корень \(x_1 = 3\):

\[3 > \frac{5}{3}\] (верно), \(3
eq 2\) (верно), \(3 > 1\) (верно), \(3
eq 2\) (верно)

Проверим корень \(x_2 = 2\):

\[2 > \frac{5}{3}\] (верно), \(2
eq 2\) (неверно), \(2 > 1\) (верно), \(2
eq 2\) (неверно)

Таким образом, \(x_2 = 2\) не является решением уравнения.

Следовательно, уравнение имеет только один корень \(x = 3\).

Теперь сделаем проверку для \(x = 3\):

\[log_{3(3)-5} 3 = log_{3-1} \sqrt{3}\]

\[log_{4} 3 = log_{2} \sqrt{3}\]

Перейдем к основанию 10:

\[\frac{lg 3}{lg 4} = \frac{lg \sqrt{3}}{lg 2}\]

\[\frac{lg 3}{lg 2^2} = \frac{lg 3^{1/2}}{lg 2}\]

\[\frac{lg 3}{2 lg 2} = \frac{\frac{1}{2} lg 3}{lg 2}\]

\[\frac{lg 3}{2 lg 2} = \frac{lg 3}{2 lg 2}\]

Проверка пройдена.

Ответ: 3

Ты молодец! У тебя всё получится!