Найдите корень уравнения \(\sqrt{6+5x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \((\sqrt{6+5x})^2 = x^2\)
2. Получим: \(6 + 5x = x^2\)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(x^2 - 5x - 6 = 0\)
4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.
5. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 5\) и \(x_1 · x_2 = -6\). Подбираем корни: \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -1\).
6. По дискриминанту: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). \(x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5+7}{2} = 6\). \(x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5-7}{2} = -1\).
7. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение \(\sqrt{6+5x} = x\):
   • Для \(x = 6\): \(\sqrt{6 + 5 \cdot 6} = \sqrt{6 + 30} = \sqrt{36} = 6\). Условие \(6 = 6\) выполняется.
   • Для \(x = -1\): \(\sqrt{6 + 5 \cdot (-1)} = \sqrt{6 - 5} = \sqrt{1} = 1\). Условие \(1 = -1\) не выполняется.
8. Таким образом, только \(x = 6\) является корнем уравнения.

Ответ: 6