Найдите корни уравнения

Решение:

Чтобы найти корни уравнения \( \frac{a^3 + 4a^2 + 4a}{a^2 - 4} = 0 \), нужно приравнять числитель к нулю и найти значения \( a \), при которых знаменатель не равен нулю.

1. Приравниваем числитель к нулю:
• Вынесем общий множитель \( a \): \( a(a^2 + 4a + 4) = 0 \)
• Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом: \( a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 \)
• Таким образом, уравнение принимает вид: \( a(a + 2)^2 = 0 \)
• Корни этого уравнения: \( a = 0 \) или \( (a + 2)^2 = 0 \).
• Из \( (a + 2)^2 = 0 \) следует \( a + 2 = 0 \), значит, \( a = -2 \).
2. Проверяем знаменатель:
• Знаменатель \( a^2 - 4 \) не должен быть равен нулю.
• \( a^2 - 4 = 0 \)
• \( (a - 2)(a + 2) = 0 \)
• Это значит, что \( a \) не может быть равно \( 2 \) или \( -2 \).
3. Окончательный ответ:
• Мы нашли потенциальные корни \( a = 0 \) и \( a = -2 \).
• Однако, \( a = -2 \) обращает знаменатель в ноль, поэтому этот корень не подходит.
• Единственный корень, удовлетворяющий условиям, — \( a = 0 \).

Ответ: a = 0.