Найдите корни уравнения $$\frac{x³ - 5x² - 4x + 20}{x² - 25} = 0$$.

Задача: найти корни рационального уравнения.

ПРОТОКОЛ: Алгебра, решение уравнений.

1. $$\frac{x^3 - 5x^2 - 4x + 20}{x^2 - 25} = 0$$
2. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
3. Решим уравнение $$x^3 - 5x^2 - 4x + 20 = 0$$
4. Сгруппируем слагаемые: $$(x^3 - 5x^2) + (-4x + 20) = 0$$
5. Вынесем общий множитель из каждой группы: $$x^2(x - 5) - 4(x - 5) = 0$$
6. Вынесем общий множитель (x - 5): $$(x - 5)(x^2 - 4) = 0$$
7. Разложим $$x^2 - 4$$ как разность квадратов: $$(x - 5)(x - 2)(x + 2) = 0$$
8. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
9. $$x - 5 = 0$$ или $$x - 2 = 0$$ или $$x + 2 = 0$$
10. $$x = 5$$ или $$x = 2$$ или $$x = -2$$
11. Проверим знаменатель: $$x^2 - 25
    eq 0$$, $$x
    eq \pm 5$$
12. Значит, $$x = 5$$ не является корнем.

Ответ: $$x = 2, x = -2$$