1. Найдите корни уравнения $$\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3;$$

Для решения данного уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Привести дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель для дробей $$\frac{3x-9}{x-1}$$ и $$\frac{x+6}{x+1}$$ будет $$(x-1)(x+1)$$. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель:

2. $$\frac{(3x-9)(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x+6)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = 3$$
3. Раскрыть скобки в числителях:

Раскрываем скобки в числителях дробей:

4. $$\frac{3x^2+3x-9x-9}{(x-1)(x+1)} + \frac{x^2-x+6x-6}{(x+1)(x-1)} = 3$$
5. $$\frac{3x^2-6x-9}{(x-1)(x+1)} + \frac{x^2+5x-6}{(x+1)(x-1)} = 3$$
6. Привести подобные слагаемые в числителе:

Складываем дроби, объединяя числители:

7. $$\frac{3x^2-6x-9+x^2+5x-6}{(x-1)(x+1)} = 3$$
8. $$\frac{4x^2-x-15}{(x-1)(x+1)} = 3$$
9. Умножить обе части уравнения на знаменатель:

Умножаем обе части уравнения на $$(x-1)(x+1)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

10. $$4x^2 - x - 15 = 3(x-1)(x+1)$$
11. Раскрыть скобки в правой части:
12. $$4x^2 - x - 15 = 3(x^2-1)$$
13. $$4x^2 - x - 15 = 3x^2-3$$
14. Перенести все члены в левую часть уравнения:

Переносим все члены в левую часть уравнения, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

15. $$4x^2 - x - 15 - 3x^2 + 3 = 0$$
16. $$x^2 - x - 12 = 0$$
17. Решить квадратное уравнение:

Получили квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант или теорему Виета:

18. Находим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня.

19. Находим корни:
20. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
21. $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
22. Проверка на ОДЗ:

Проверяем, чтобы корни не обращали знаменатель исходного уравнения в нуль:

23. $$x
    eq 1$$ и $$x
    eq -1$$.

Оба корня, 4 и -3, удовлетворяют этому условию.

Ответ: Корни уравнения: $$x_1 = 4$$, $$x_2 = -3$$.

Ответ: 4; -3