2. Найдите корни уравнения: 1) a) 3x-9/x-1 + x+6/x+1 = 3; б) 4y+7/2y-3 - y-3/2y+3 = 1; B) 3/x+2 - 3/2-x = 2/x²-4; г) 2y-8/y-5 + 10/y²-25 = y+4/y+5;

Решим уравнения.

1) a)

$$\frac{3x-9}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 3$$

ОДЗ: $$x
e 1; x
e -1$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-1)(x+1)$$:

$$(3x-9)(x+1) + (x+6)(x-1) = 3(x-1)(x+1)$$ $$3x^2 + 3x - 9x - 9 + x^2 - x + 6x - 6 = 3(x^2-1)$$ $$4x^2 - x - 15 = 3x^2 - 3$$ $$x^2 - x - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1+7}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1-7}{2} = -3$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$x_1 = 4; x_2 = -3$$

б)

$$\frac{4y+7}{2y-3} - \frac{y-3}{2y+3} = 1$$

ОДЗ: $$2y-3
e 0 \Rightarrow y
e \frac{3}{2}$$ $$2y+3
e 0 \Rightarrow y
e -\frac{3}{2}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(4y+7)(2y+3) - (y-3)(2y-3)}{(2y-3)(2y+3)} = 1$$ $$(4y+7)(2y+3) - (y-3)(2y-3) = (2y-3)(2y+3)$$ $$8y^2 + 12y + 14y + 21 - (2y^2 - 3y - 6y + 9) = 4y^2 - 9$$ $$8y^2 + 26y + 21 - 2y^2 + 9y - 9 = 4y^2 - 9$$ $$6y^2 + 35y + 12 = 4y^2 - 9$$ $$2y^2 + 35y + 21 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 35^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 1225 - 168 = 1057$$

$$y_1 = \frac{-35 + \sqrt{1057}}{4}$$ $$y_2 = \frac{-35 - \sqrt{1057}}{4}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$y_1 = \frac{-35 + \sqrt{1057}}{4}; y_2 = \frac{-35 - \sqrt{1057}}{4}$$

B)

$$\frac{3}{x+2} - \frac{3}{2-x} = \frac{2}{x^2-4}$$

ОДЗ: $$x
e -2; x
e 2$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{3}{x+2} + \frac{3}{x-2} = \frac{2}{x^2-4}$$ $$\frac{3(x-2) + 3(x+2)}{x^2-4} = \frac{2}{x^2-4}$$ $$3x - 6 + 3x + 6 = 2$$ $$6x = 2$$ $$x = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$x = \frac{1}{3}$$

г)

$$\frac{2y-8}{y-5} + \frac{10}{y^2-25} = \frac{y+4}{y+5}$$

ОДЗ: $$y
e 5; y
e -5$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(2y-8)(y+5) + 10}{y^2-25} = \frac{y+4}{y+5}$$ $$\frac{2y^2 + 10y - 8y - 40 + 10}{y^2-25} = \frac{y+4}{y+5}$$ $$\frac{2y^2 + 2y - 30}{y^2-25} = \frac{y+4}{y+5}$$ $$\frac{2(y^2 + y - 15)}{(y-5)(y+5)} = \frac{y+4}{y+5}$$ $$2(y^2 + y - 15) = (y+4)(y-5)$$ $$2y^2 + 2y - 30 = y^2 - 5y + 4y - 20$$ $$2y^2 + 2y - 30 = y^2 - y - 20$$ $$y^2 + 3y - 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$ $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = -5$$

$$y_2 = -5$$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $$y = 2$$