2. Найдите корни уравнения: 1) a) x-7+x+4=1; x-2 x+2 6) 3y-3+6+2y=2; 3y-2 3y+2 2) a) 4-2=3-y; y-2 y y²-2y в) 2-4=3; x-5 x+5 x²-25 г) 2y-2-18=y-6. y+3 y²-9 y-3 6) 3x-2+x-4=3x²+1. x-1 x+3 (x-1)(x+3)

1) a) Решим уравнение:

$$\frac{x-7}{x-2} + \frac{x+4}{x+2} = 1$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x-7)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x+4)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+2)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(x-7)(x+2) + (x+4)(x-2) = (x-2)(x+2)$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 2x - 7x - 14 + x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 - 4$$

Приведем подобные члены:

$$2x^2 - 3x - 22 = x^2 - 4$$

Перенесем все в левую часть:

$$2x^2 - x^2 - 3x - 22 + 4 = 0$$

$$x^2 - 3x - 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим, не являются ли корни посторонними, подставив их в знаменатель:

$$x
eq 2, x
eq -2$$, следовательно, корни не посторонние.

Ответ: x = 6, x = -3

---

1) б) Решим уравнение:

$$\frac{3y-3}{3y-2} + \frac{6+2y}{3y+2} = 2$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(3y-3)(3y+2)}{(3y-2)(3y+2)} + \frac{(6+2y)(3y-2)}{(3y+2)(3y-2)} = \frac{2(3y-2)(3y+2)}{(3y-2)(3y+2)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(3y-2)(3y+2)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(3y-3)(3y+2) + (6+2y)(3y-2) = 2(3y-2)(3y+2)$$

Раскроем скобки:

$$9y^2 + 6y - 9y - 6 + 18y - 12 + 6y^2 - 4y = 2(9y^2-4)$$

$$15y^2 + 11y - 18 = 18y^2 - 8$$

Приведем подобные члены:

$$18y^2 - 15y^2 - 11y - 8 + 18 = 0$$

$$3y^2 - 11y + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

Проверим, не являются ли корни посторонними, подставив их в знаменатель:

$$y
eq \frac{2}{3}, y
eq -\frac{2}{3}$$, следовательно, корень $$y_1=2$$ является посторонним.

Ответ: y = 5/3

---

2) а) Решим уравнение:

$$\frac{4}{y-2} - \frac{2}{y} = \frac{3-y}{y^2-2y}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{4}{y-2} - \frac{2}{y} = \frac{3-y}{y(y-2)}$$

$$\frac{4y}{y(y-2)} - \frac{2(y-2)}{y(y-2)} = \frac{3-y}{y(y-2)}$$

Умножим обе части уравнения на $$y(y-2)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$4y - 2(y-2) = 3-y$$

Раскроем скобки:

$$4y - 2y + 4 = 3 - y$$

$$2y + 4 = 3 - y$$

Перенесем все в левую часть:

$$2y + y = 3 - 4$$

$$3y = -1$$

$$y = -\frac{1}{3}$$

Проверим, не является ли корень посторонним, подставив его в знаменатель:

$$y
eq 0, y
eq 2$$, следовательно, корень не посторонний.

Ответ: y = -1/3

---

в) Решим уравнение:

$$\frac{2}{x-5} - \frac{4}{x+5} = \frac{3}{x^2-25}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2}{x-5} - \frac{4}{x+5} = \frac{3}{(x-5)(x+5)}$$

$$\frac{2(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{4(x-5)}{(x+5)(x-5)} = \frac{3}{(x-5)(x+5)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-5)(x+5)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2(x+5) - 4(x-5) = 3$$

Раскроем скобки:

$$2x + 10 - 4x + 20 = 3$$

Приведем подобные члены:

$$-2x + 30 = 3$$

Перенесем известные члены в правую часть:

$$-2x = 3 - 30$$

$$-2x = -27$$

$$x = \frac{-27}{-2} = \frac{27}{2} = 13.5$$

Проверим, не является ли корень посторонним, подставив его в знаменатель:

$$x
eq 5, x
eq -5$$, следовательно, корень не посторонний.

Ответ: x = 13.5

---

г) Решим уравнение:

$$\frac{2y-2}{y+3} - \frac{18}{y^2-9} = \frac{y-6}{y-3}$$

Разложим знаменатель второй дроби на множители:

$$\frac{2y-2}{y+3} - \frac{18}{(y-3)(y+3)} = \frac{y-6}{y-3}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(2y-2)(y-3)}{(y+3)(y-3)} - \frac{18}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y-6)(y+3)}{(y-3)(y+3)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(y-3)(y+3)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(2y-2)(y-3) - 18 = (y-6)(y+3)$$

Раскроем скобки:

$$2y^2 - 6y - 2y + 6 - 18 = y^2 + 3y - 6y - 18$$

$$2y^2 - 8y - 12 = y^2 - 3y - 18$$

Приведем подобные члены:

$$2y^2 - y^2 - 8y + 3y - 12 + 18 = 0$$

$$y^2 - 5y + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Проверим, не являются ли корни посторонними, подставив их в знаменатель:

$$y
eq -3, y
eq 3$$, следовательно, корень $$y_1 = 3$$ является посторонним.

Ответ: y = 2

---

6) Решим уравнение:

$$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x-4}{x+3} = \frac{3x^2+1}{(x-1)(x+3)}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(3x-2)(x+3)}{(x-1)(x+3)} + \frac{(x-4)(x-1)}{(x+3)(x-1)} = \frac{3x^2+1}{(x-1)(x+3)}$$

Умножим обе части уравнения на $$(x-1)(x+3)$$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(3x-2)(x+3) + (x-4)(x-1) = 3x^2+1$$

Раскроем скобки:

$$3x^2 + 9x - 2x - 6 + x^2 - x - 4x + 4 = 3x^2 + 1$$

Приведем подобные члены:

$$4x^2 + 2x - 2 = 3x^2 + 1$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$4x^2 - 3x^2 + 2x - 2 - 1 = 0$$

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Проверим, не являются ли корни посторонними, подставив их в знаменатель:

$$x
eq 1, x
eq -3$$, следовательно, оба корня являются посторонними.

Ответ: Корней нет