Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите корни уравнения: cos π(x - 7) / 3 = 1/2. В ответ запишите наибольший отрицательный корень.
Ответ:
Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение вместе. Поехали!
- Для начала, решим уравнение относительно аргумента косинуса: \[\cos\left(\frac{\pi(x - 7)}{3}\right) = \frac{1}{2}\] Известно, что \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\) при \(\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. Следовательно: \[\frac{\pi(x - 7)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\]
- Теперь, выразим \(x\): \[x - 7 = \pm 1 + 6k\] \[x = 7 \pm 1 + 6k\] Таким образом, у нас есть два семейства решений: \[x_1 = 7 + 1 + 6k = 8 + 6k\] \[x_2 = 7 - 1 + 6k = 6 + 6k\]
- Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Подставим различные значения \(k\) в оба уравнения и посмотрим, какие корни получаются: Для \(x_1 = 8 + 6k\): Если \(k = -1\), то \(x_1 = 8 - 6 = 2\) Если \(k = -2\), то \(x_1 = 8 - 12 = -4\) Если \(k = -3\), то \(x_1 = 8 - 18 = -10\) Для \(x_2 = 6 + 6k\): Если \(k = -1\), то \(x_2 = 6 - 6 = 0\) Если \(k = -2\), то \(x_2 = 6 - 12 = -6\) Если \(k = -3\), то \(x_2 = 6 - 18 = -12\)
- Среди найденных отрицательных корней наибольший -4.
Ответ: -4
