582. Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² - 15x – 16 = 0; б) х² – 6x – 11 = 0; в) 12x2 - 4x - 1 = 0; г) х² – 6 = 0; д) 5х2 – 18x = 0; e) 2x² - 41 = 0.

a) $$x^2 - 15x - 16 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 15$$

$$x_1 \cdot x_2 = -16$$

Подходящие корни: 16 и -1

Проверка:

$$16 + (-1) = 15$$

$$16 \cdot (-1) = -16$$

Ответ: $$x_1 = 16$$, $$x_2 = -1$$

---

б) $$x^2 - 6x - 11 = 0$$

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$$

$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}$$

$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4\sqrt{5}}{2} = 3 - 2\sqrt{5}$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 6$$

$$x_1 \cdot x_2 = -11$$

Проверка:

$$3 + 2\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5} = 6$$

$$(3 + 2\sqrt{5}) \cdot (3 - 2\sqrt{5}) = 9 - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$$

Ответ: $$x_1 = 3 + 2\sqrt{5}$$, $$x_2 = 3 - 2\sqrt{5}$$

---

в) $$12x^2 - 4x - 1 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 12} = \frac{4 - 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}$$

По теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения:

$$x^2 + px + q = 0$$

$$x_1 + x_2 = -p$$

$$x_1 \cdot x_2 = q$$

Преобразуем исходное уравнение:

$$x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{12} = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = \frac{1}{3}$$

$$x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{12}$$

Проверка:

$$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{6}) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{12}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{2}$$, $$x_2 = -\frac{1}{6}$$

---

г) $$x^2 - 6 = 0$$

$$x^2 = 6$$

$$x_1 = \sqrt{6}$$

$$x_2 = -\sqrt{6}$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 0$$

$$x_1 \cdot x_2 = -6$$

Проверка:

$$\sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0$$

$$\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6$$

Ответ: $$x_1 = \sqrt{6}$$, $$x_2 = -\sqrt{6}$$

---

д) $$5x^2 - 18x = 0$$

$$x(5x - 18) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$5x - 18 = 0$$

$$5x = 18$$

$$x_2 = \frac{18}{5} = 3.6$$

Преобразуем исходное уравнение:

$$x^2 - \frac{18}{5}x = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = \frac{18}{5}$$

$$x_1 \cdot x_2 = 0$$

Проверка:

$$0 + \frac{18}{5} = \frac{18}{5}$$

$$0 \cdot \frac{18}{5} = 0$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 3.6$$

---

e) $$2x^2 - 41 = 0$$

$$2x^2 = 41$$

$$x^2 = \frac{41}{2} = 20.5$$

$$x_1 = \sqrt{20.5}$$

$$x_2 = -\sqrt{20.5}$$

Преобразуем исходное уравнение:

$$x^2 - \frac{41}{2} = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 0$$

$$x_1 \cdot x_2 = -\frac{41}{2}$$

Проверка:

$$\sqrt{20.5} + (-\sqrt{20.5}) = 0$$

$$\sqrt{20.5} \cdot (-\sqrt{20.5}) = -20.5 = -\frac{41}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \sqrt{20.5}$$, $$x_2 = -\sqrt{20.5}$$