Найдите корни уравнения: \(\log_2^2 x - 6\log_2 x = -8\)

Решение:

1. Обозначим \( y = \log_2 x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 6y = -8 \).
2. Перенесем все члены в левую часть: \( y^2 - 6y + 8 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
4. Найдем корни \( y \): \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]
5. Теперь вернемся к замене:
• Если \( y = 4 \), то \( \log_2 x = 4 \). Отсюда \( x = 2^4 = 16 \).
• Если \( y = 2 \), то \( \log_2 x = 2 \). Отсюда \( x = 2^2 = 4 \).
6. Проверим корни:
• Для \( x = 16 \): \( \log_2^2 16 - 6\log_2 16 = 4^2 - 6 \cdot 4 = 16 - 24 = -8 \). Верно.
• Для \( x = 4 \): \( \log_2^2 4 - 6\log_2 4 = 2^2 - 6 \cdot 2 = 4 - 12 = -8 \). Верно.

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 16.