3. Найдите корни уравнения sin (2x - π/2) = 1/2, прин: щие полуинтервалу (0; 3π/2].

Шаг 1: Решим тригонометрическое уравнение sin(2x - π/2) = 1/2.

2x - \(\frac{\pi}{2}\) = arcsin(\( \frac{1}{2} \))

2x - \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{6}\) + 2πk или 2x - \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{5\pi}{6}\) + 2πk, где k ∈ Z

Шаг 2: Выразим x из каждого уравнения.

• 2x = \(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{\pi}{2}\) + 2πk 2x = \(\frac{\pi}{6}\) + \(\frac{3\pi}{6}\) + 2πk 2x = \(\frac{4\pi}{6}\) + 2πk 2x = \(\frac{2\pi}{3}\) + 2πk x = \(\frac{\pi}{3}\) + πk
• 2x = \(\frac{5\pi}{6}\) + \(\frac{\pi}{2}\) + 2πk 2x = \(\frac{5\pi}{6}\) + \(\frac{3\pi}{6}\) + 2πk 2x = \(\frac{8\pi}{6}\) + 2πk 2x = \(\frac{4\pi}{3}\) + 2πk x = \(\frac{2\pi}{3}\) + πk

Шаг 3: Найдем корни, принадлежащие полуинтервалу (0; \(\frac{3\pi}{2}\)].

• Для x = \(\frac{\pi}{3}\) + πk:

k = 0: x = \(\frac{\pi}{3}\) (принадлежит интервалу)

k = 1: x = \(\frac{\pi}{3}\) + π = \(\frac{4\pi}{3}\) (принадлежит интервалу)

k = 2: x = \(\frac{\pi}{3}\) + 2π = \(\frac{7\pi}{3}\) (не принадлежит интервалу)

• Для x = \(\frac{2\pi}{3}\) + πk:

k = 0: x = \(\frac{2\pi}{3}\) (принадлежит интервалу)

k = 1: x = \(\frac{2\pi}{3}\) + π = \(\frac{5\pi}{3}\) (не принадлежит интервалу, так как \(\frac{5\pi}{3}\) > \(\frac{3\pi}{2}\) = \(\frac{4.5\pi}{3}\))

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\), \(\frac{4\pi}{3}\)