633. Найдите корни уравнения: a) \(\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{7x}{x^2+1}\); (б) \(\frac{y^2}{y^2-6y}=\frac{4(3-2y)}{y(6-y)}\); B) \(\frac{x-2}{x+2}=\frac{x+3}{x-4}\); г) \(\frac{8y-5}{y}=\frac{9y}{y+2}\); д) \(\frac{x^2+3}{x^2+1}=2\); e) \(\frac{3}{x^2+2}=\frac{1}{x}\); ж) \(x+2=\frac{15}{4x+1}\); з) \(\frac{x^2-5}{x-1}=\frac{10}{x-1}\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 1\), предполагая, что \(x^2 + 1
eq 0\).

\[x^2 = 7x\]

Шаг 2: Перенесем все члены в одну сторону уравнения.

\[x^2 - 7x = 0\]

Шаг 3: Вынесем \(x\) за скобки.

\[x(x - 7) = 0\]

Шаг 4: Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю.

\[x = 0 \quad \text{или} \quad x - 7 = 0\]

\[x = 0 \quad \text{или} \quad x = 7\]

Ответ: \(x = 0, 7\)

Шаг 1: Упростим знаменатели, заметив, что \(y^2 - 6y = y(y - 6)\) и \(y(6 - y) = -y(y - 6)\).

\[\frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{4(3-2y)}{-y(y-6)}\]

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на \(y(y - 6)\), предполагая, что \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\).

\[y^2 = -4(3 - 2y)\]

Шаг 3: Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону уравнения.

\[y^2 = -12 + 8y\]

\[y^2 - 8y + 12 = 0\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

\[D = (-8)^2 - 4(1)(12) = 64 - 48 = 16\]

\[y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{8 \pm 4}{2}\]

\[y_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6, \quad y_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2\]

Шаг 5: Проверим полученные корни на соответствие условию \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\). Корень \(y = 6\) не подходит.

Ответ: \(y = 2\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-4)\), предполагая, что \(x
eq -2\) и \(x
eq 4\).

\[(x - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)\]

Шаг 2: Раскроем скобки.

\[x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6\]

\[x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6\]

Шаг 3: Перенесем все члены в одну сторону уравнения и упростим.

\[-6x + 8 = 5x + 6\]

\[-11x = -2\]

\[x = \frac{2}{11}\]

Ответ: \(x = \frac{2}{11}\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(y(y + 2)\), предполагая, что \(y
eq 0\) и \(y
eq -2\).

\[(8y - 5)(y + 2) = 9y^2\]

Шаг 2: Раскроем скобки.

\[8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2\]

\[8y^2 + 11y - 10 = 9y^2\]

Шаг 3: Перенесем все члены в одну сторону уравнения и упростим.

\[y^2 - 11y + 10 = 0\]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

\[D = (-11)^2 - 4(1)(10) = 121 - 40 = 81\]

\[y = \frac{-(-11) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{11 \pm 9}{2}\]

\[y_1 = \frac{11 + 9}{2} = 10, \quad y_2 = \frac{11 - 9}{2} = 1\]

Ответ: \(y = 1, 10\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 1\), предполагая, что \(x^2 + 1
eq 0\).

\[x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)\]

Шаг 2: Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону уравнения.

\[x^2 + 3 = 2x^2 + 2\]

\[x^2 - 1 = 0\]

Шаг 3: Разложим на множители разность квадратов.

\[(x - 1)(x + 1) = 0\]

Шаг 4: Найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю.

\[x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1\]

Ответ: \(x = -1, 1\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(x(x^2 + 2)\), предполагая, что \(x
eq 0\).

\[3x = x^2 + 2\]

Шаг 2: Перенесем все члены в одну сторону уравнения.

\[x^2 - 3x + 2 = 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

\[D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\]

\[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2}\]

\[x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1\]

Ответ: \(x = 1, 2\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(4x + 1\), предполагая, что \(4x + 1
eq 0\), то есть \(x
eq -\frac{1}{4}\).

\[(x + 2)(4x + 1) = 15\]

Шаг 2: Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону уравнения.

\[4x^2 + x + 8x + 2 = 15\]

\[4x^2 + 9x - 13 = 0\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

\[D = 9^2 - 4(4)(-13) = 81 + 208 = 289\]

\[x = \frac{-9 \pm \sqrt{289}}{2(4)} = \frac{-9 \pm 17}{8}\]

\[x_1 = \frac{-9 + 17}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{-9 - 17}{8} = -\frac{13}{4}\]

Ответ: \(x = 1, -\frac{13}{4}\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(x - 1\), предполагая, что \(x
eq 1\).

\[x^2 - 5 = 10\]

Шаг 2: Перенесем все члены в одну сторону уравнения.

\[x^2 - 15 = 0\]

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

\[x^2 = 15\]

\[x = \pm \sqrt{15}\]

Ответ: \(x = -\sqrt{15}, \sqrt{15}\)