631. Найдите корни уравнения: a) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3};\) б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4};\) в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x};\) г) \(\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y};\) д) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1};\) e) \(\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3};\) ж) \(\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y};\) з) \(\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x};\) и) \(\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0.\)

Решим уравнения.

1. а) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3};\)
   ОДЗ: \(y
   eq -3\).
   \(y^2 = y\)
   \(y^2 - y = 0\)
   \(y(y-1) = 0\)
   \(y_1 = 0\), \(y_2 = 1\)
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
   Ответ: \(y_1 = 0\), \(y_2 = 1\)
2. б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4};\)
   ОДЗ: \(x^2 - 4
   eq 0\), \(x
   eq \pm 2\).
   \(x^2 = 5x - 6\)
   \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
   По теореме Виета \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1 \cdot x_2 = 6\), значит \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
   \(x_1 = 2\) не удовлетворяет ОДЗ, значит корень только один.
   Ответ: \(x = 3\)
3. в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x};\)
   \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{7x-6}{x-2};\)
   ОДЗ: \(x
   eq 2\).
   \(2x^2 = 7x - 6\)
   \(2x^2 - 7x + 6 = 0\)
   \(D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1\)
   \(x_1 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2\), \(x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5\)
   \(x_1 = 2\) не удовлетворяет ОДЗ, значит корень только один.
   Ответ: \(x = 1,5\)
4. г) \(\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y};\)
   \(\frac{y^2-6y}{y-5} = - \frac{5}{y-5};\)
   ОДЗ: \(y
   eq 5\).
   \(y^2 - 6y = -5\)
   \(y^2 - 6y + 5 = 0\)
   По теореме Виета \(y_1 + y_2 = 6\), \(y_1 \cdot y_2 = 5\), значит \(y_1 = 1\), \(y_2 = 5\).
   \(y_2 = 5\) не удовлетворяет ОДЗ, значит корень только один.
   Ответ: \(y = 1\)
5. д) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1};\)
   ОДЗ: \(x
   eq -7\), \(x
   eq 1\).
   \((2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)\)
   \(2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28\)
   \(2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\)
   \(x^2 + 28x + 27 = 0\)
   По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -28\), \(x_1 \cdot x_2 = 27\), значит \(x_1 = -1\), \(x_2 = -27\).
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
   Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = -27\)
6. е) \(\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3};\)
   ОДЗ: \(y
   eq -3\), \(y
   eq \frac{1}{2}\).
   \((2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1)\)
   \(2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 - y - 10y + 5\)
   \(2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5\)
   \(20y = -4\)
   \(y = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5}\)
   Корень удовлетворяет ОДЗ.
   Ответ: \(y = -\frac{1}{5}\)
7. ж) \(\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y};\)
   ОДЗ: \(y
   eq -1\), \(y
   eq 0\).
   \((5y+1)y = (y+2)(y+1)\)
   \(5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2\)
   \(4y^2 - 2y - 2 = 0\)
   \(2y^2 - y - 1 = 0\)
   \(D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\)
   \(y_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\), \(y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\)
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
   Ответ: \(y_1 = 1\), \(y_2 = -\frac{1}{2}\)
8. з) \(\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x};\)
   ОДЗ: \(x
   eq \pm \frac{1}{2}\).
   \((1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)\)
   \(1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2\)
   \(6x^2 + 5x + 1 = 6x^2 - 13x + 5\)
   \(18x = 4\)
   \(x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\)
   Корень удовлетворяет ОДЗ.
   Ответ: \(x = \frac{2}{9}\)
9. и) \(\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0.\)
   ОДЗ: \(x
   eq \pm \frac{3}{2}\).
   \(\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x};\)
   \((x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3)\)
   \(3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3\)
   \(-2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3\)
   \(6x^2 - x = 0\)
   \(x(6x-1) = 0\)
   \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{1}{6}\)
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
   Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{1}{6}\)