600. Найдите корни уравнения: a) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}\); б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}\); в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}\); г) \(\frac{y-5}{y^2-6y} = \frac{5}{y^2-6y}\); д) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}\); е) \(\frac{2y}{y+3} = \frac{2y}{y+3}\); ж) \(\frac{5y}{x^2-4} = \frac{y}{4x}\); з) \(\frac{1+x}{2x-5} = \frac{1-x}{x+5}\); и) \(\frac{x}{7-x} = \frac{x}{x^2+4x}\);

a) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}\)

ОДЗ: \(y
eq -3\)

При \(y
eq -3\) умножаем обе части уравнения на \(y+3\):

\[y^2 = y\]

\[y^2 - y = 0\]

\[y(y - 1) = 0\]

Следовательно, \(y = 0\) или \(y = 1\)

Ответ: 0; 1

б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}\)

ОДЗ: \(x^2
eq 4\), то есть \(x
eq \pm 2\)

При \(x
eq \pm 2\) умножаем обе части уравнения на \(x^2-4\):

\[x^2 = 5x - 6\]

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[(x-2)(x-3) = 0\]

Следовательно, \(x = 2\) или \(x = 3\)

Так как \(x
eq 2\), то \(x = 3\)

Ответ: 3

в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}\)

ОДЗ: \(x
eq 2\)

При \(x
eq 2\) умножаем обе части уравнения на \(x-2\):

\[2x^2 = 7x - 6\]

\[2x^2 - 7x + 6 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1\]

\[x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2\]

\[x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{3}{2}\]

Так как \(x
eq 2\), то \(x = \frac{3}{2}\)

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

г) \(\frac{y-5}{y^2-6y} = \frac{5}{y^2-6y}\)

ОДЗ: \(y^2 - 6y
eq 0\), то есть \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\)

При \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\) умножаем обе части уравнения на \(y^2-6y\):

\[y - 5 = 5\]

\[y = 10\]

Ответ: 10

д) \(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}\)

ОДЗ: \(x
eq -7\) и \(x
eq 1\)

При \(x
eq -7\) и \(x
eq 1\) умножаем обе части уравнения на \((x+7)(x-1)\):

\[(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)\]

\[2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\]

\[x^2 + 28x + 27 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[(x+1)(x+27) = 0\]

Следовательно, \(x = -1\) или \(x = -27\)

Ответ: -1; -27

e) \(\frac{2y}{y+3} = \frac{2y}{y+3}\)

ОДЗ: \(y
eq -3\)

При \(y
eq -3\) уравнение выполняется при любом значении \(y\)

Ответ: любое число, кроме -3

ж) \(\frac{5y}{x^2-4} = \frac{y}{4x}\)

ОДЗ: \(x
eq \pm 2\) и \(x
eq 0\)

При \(x
eq \pm 2\) и \(x
eq 0\) умножаем обе части уравнения на \(4x(x^2-4)\):

\[20xy = y(x^2-4)\]

\[20xy - y(x^2-4) = 0\]

\[y(20x - x^2 + 4) = 0\]

Следовательно, \(y = 0\) или \(x^2 - 20x - 4 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 400 + 16 = 416\]

\[x_1 = \frac{20 + \sqrt{416}}{2} = 10 + 2\sqrt{26}\]

\[x_2 = \frac{20 - \sqrt{416}}{2} = 10 - 2\sqrt{26}\]

Ответ: y = 0 или x = 10 ± 2\(\sqrt{26}\)

з) \(\frac{1+x}{2x-5} = \frac{1-x}{x+5}\)

ОДЗ: \(x
eq \frac{5}{2}\) и \(x
eq -5\)

При \(x
eq \frac{5}{2}\) и \(x
eq -5\) умножаем обе части уравнения на \((2x-5)(x+5)\):

\[(1+x)(x+5) = (1-x)(2x-5)\]

\[x^2 + 6x + 5 = -2x^2 + 7x + 5\]

\[3x^2 - x = 0\]

\[x(3x - 1) = 0\]

Следовательно, \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{3}\)

Ответ: 0; \(\frac{1}{3}\)

и) \(\frac{x}{7-x} = \frac{x}{x^2+4x}\)

ОДЗ: \(x
eq 7\) и \(x
eq 0\) и \(x
eq -4\)

При \(x
eq 7\) и \(x
eq 0\) и \(x
eq -4\) умножаем обе части уравнения на \((7-x)(x^2+4x)\):

\[x(x^2+4x) = x(7-x)\]

\[x^3 + 4x^2 = 7x - x^2\]

\[x^3 + 5x^2 - 7x = 0\]

\[x(x^2 + 5x - 7) = 0\]

Следовательно, \(x = 0\) или \(x^2 + 5x - 7 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 25 + 28 = 53\]

\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{53}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{53}}{2}\]

Так как \(x
eq 0\), то \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{53}}{2}\)

Ответ: \(\frac{-5 + \sqrt{53}}{2}; \frac{-5 - \sqrt{53}}{2}\)