600. Найдите корни уравнения: a) \frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}; б) \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x - 6}{x^2-4}; в) \frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}; г) \frac{y^2 - 6y}{y-5} = \frac{5}{5-y}; д) \frac{2x - 1}{x+7} = \frac{3x + 4}{x-1}; е) \frac{2y + 3}{2y - 1} = \frac{y-5}{y+3}; ж) \frac{5y + 1}{y + 1} = \frac{y+2}{y}; з) \frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}; и) \frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x - 1}{3-2x} = 0.

a) \(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}\)

ОДЗ: \(y
eq -3\)

\(y^2 = y\)

\(y^2 - y = 0\)

\(y(y-1) = 0\)

\(y_1 = 0\)

\(y_2 = 1\)

б) \(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x - 6}{x^2-4}\)

ОДЗ: \(x
eq \pm 2\)

\(x^2 = 5x - 6\)

\(x^2 - 5x + 6 = 0\)

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = 5\)

\(x_1 \cdot x_2 = 6\)

\(x_1 = 2\) не подходит, т.к. не входит в ОДЗ

\(x_2 = 3\)

в) \(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}\)

ОДЗ: \(x
eq 2\)

\(\frac{2x^2}{x-2} = -\frac{-7x+6}{x-2}\)

\(2x^2 = 7x - 6\)

\(2x^2 - 7x + 6 = 0\)

\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1\)

\(x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2\) не подходит, т.к. не входит в ОДЗ

\(x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5\)

г) \(\frac{y^2 - 6y}{y-5} = \frac{5}{5-y}\)

ОДЗ: \(y
eq 5\)

\(\frac{y^2 - 6y}{y-5} = -\frac{5}{y-5}\)

\(y^2 - 6y = -5\)

\(y^2 - 6y + 5 = 0\)

По теореме Виета:

\(y_1 + y_2 = 6\)

\(y_1 \cdot y_2 = 5\)

\(y_1 = 1\)

\(y_2 = 5\) не подходит, т.к. не входит в ОДЗ

д) \(\frac{2x - 1}{x+7} = \frac{3x + 4}{x-1}\)

ОДЗ: \(x
eq -7, x
eq 1\)

\((2x - 1)(x-1) = (3x + 4)(x+7)\)

\(2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28\)

\(2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\)

\(x^2 + 28x + 27 = 0\)

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -28\)

\(x_1 \cdot x_2 = 27\)

\(x_1 = -1\) не подходит, т.к. не входит в ОДЗ

\(x_2 = -27\)

е) \(\frac{2y + 3}{2y - 1} = \frac{y-5}{y+3}\)

ОДЗ: \(y
eq \frac{1}{2}, y
eq -3\)

\((2y + 3)(y+3) = (y-5)(2y-1)\)

\(2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 - y - 10y + 5\)

\(2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5\)

\(20y = -4\)

\(y = -\frac{1}{5}\)

ж) \(\frac{5y + 1}{y + 1} = \frac{y+2}{y}\)

ОДЗ: \(y
eq -1, y
eq 0\)

\((5y + 1)y = (y+2)(y+1)\)

\(5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2\)

\(4y^2 - 2y - 2 = 0\)

\(2y^2 - y - 1 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\)

\(y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1\)

\(y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

з) \(\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}\)

ОДЗ: \(x
eq \pm \frac{1}{2}\)

\((1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)\)

\(1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2\)

\(1 + 5x = 5 - 13x\)

\(18x = 4\)

\(x = \frac{2}{9}\)

и) \(\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x - 1}{3-2x} = 0\)

ОДЗ: \(x
eq -\frac{3}{2}, x
eq \frac{3}{2}\)

\(\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x - 1}{3-2x} \)

\((x-1)(3-2x) = (2x - 1)(2x+3)\)

\(3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3\)

\(- 2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3\)

\(6x^2 - x = 0\)

\(x(6x - 1) = 0\)

\(x_1 = 0\)

\(x_2 = \frac{1}{6}\)

Ответ: a) \(y_1=0, y_2=1\); б) \(x=3\); в) \(x=1.5\); г) \(y=1\); д) \(x=-27\); е) \(y=-\frac{1}{5}\); ж) \(y_1=1, y_2=-\frac{1}{2}\); з) \(x=\frac{2}{9}\); и) \(x_1=0, x_2=\frac{1}{6}\)