633. Найдите корни уравнения: a) x² = 7x ; x²+1 x²+1 б) y² = 4(3-2y) y²-6y y(6-y)' x-2x+3 B) x+2=x-4, 8y-5=9y г) y y+2 x²+3 д) x²+1=2; 3 1 e) x²+2=x; ж) х+2 = 15 ; 4x+1 x²-5=7x+10. 3) x-1 9

633. Найдем корни уравнений:

a) \(\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}\) Умножим обе части уравнения на \(x^2+1\) (при условии, что \(x^2+1
eq 0\), что выполняется всегда, так как \(x^2 \geq 0\)): \[x^2 = 7x\] Перенесем все в одну сторону: \[x^2 - 7x = 0\] Вынесем \(x\) за скобки: \[x(x-7) = 0\] Следовательно, либо \(x = 0\), либо \(x-7 = 0\). Если \(x-7 = 0\), то \(x = 7\). б) \(\frac{y^2}{y^2-6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)}\) \[\frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)}\) Умножим обе части уравнения на \(y(y-6)\) (при условии, что \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\)): \[y^2 = -4(3-2y)\] \[y^2 = -12 + 8y\] \[y^2 - 8y + 12 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\) \(y_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6\) \(y_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Проверка: \(y_1 = 6\) не является решением, так как не удовлетворяет условию \(y
eq 6\). А \(y_2 = 2\) является решением, так как удовлетворяет условиям \(y
eq 0\) и \(y
eq 6\). в) \(\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4}\) Умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-4)\) (при условии, что \(x
eq -2\) и \(x
eq 4\)): \[(x-2)(x-4) = (x+3)(x+2)\] \[x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6\] \[x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6\] \[-6x + 8 = 5x + 6\] \[-11x = -2\] \[x = \frac{2}{11}\] Проверка: \(x = \frac{2}{11}
eq -2\) и \(x = \frac{2}{11}
eq 4\), следовательно, это решение. г) \(\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2}\) Умножим обе части уравнения на \(y(y+2)\) (при условии, что \(y
eq 0\) и \(y
eq -2\)): \[(8y - 5)(y+2) = 9y^2\] \[8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2\] \[8y^2 + 11y - 10 = 9y^2\] \[y^2 - 11y + 10 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81\) \(y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10\) \(y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Проверка: \(y_1 = 10
eq 0\) и \(y_1 = 10
eq -2\), следовательно, это решение. \(y_2 = 1
eq 0\) и \(y_2 = 1
eq -2\), следовательно, это решение. д) \(\frac{x^2+3}{x^2+1} = 2\) Умножим обе части уравнения на \(x^2+1\) (при условии, что \(x^2+1
eq 0\), что выполняется всегда, так как \(x^2 \geq 0\)): \[x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)\] \[x^2 + 3 = 2x^2 + 2\] \[x^2 - 1 = 0\] \[x^2 = 1\] \[x = \pm 1\) e) \(\frac{3}{x^2+2} = \frac{1}{x}\) Умножим обе части уравнения на \(x(x^2+2)\) (при условии, что \(x
eq 0\)): \[3x = x^2 + 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\) \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Проверка: \(x_1 = 2
eq 0\) и \(x_2 = 1
eq 0\), следовательно, оба являются решениями. ж) \(x+2 = \frac{15}{4x+1}\) Умножим обе части уравнения на \(4x+1\) (при условии, что \(x
eq -\frac{1}{4}\)): \[(x+2)(4x+1) = 15\] \[4x^2 + x + 8x + 2 = 15\] \[4x^2 + 9x - 13 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289\) \(x_1 = \frac{-9 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 17}{8} = \frac{8}{8} = 1\) \(x_2 = \frac{-9 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 17}{8} = \frac{-26}{8} = -\frac{13}{4} = -3.25\) Проверка: \(x_1 = 1
eq -\frac{1}{4}\) и \(x_2 = -3.25
eq -\frac{1}{4}\), следовательно, оба являются решениями. з) \(\frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9}\) Умножим обе части уравнения на \(9(x-1)\) (при условии, что \(x
eq 1\)): \[9(x^2 - 5) = (7x + 10)(x-1)\] \[9x^2 - 45 = 7x^2 - 7x + 10x - 10\] \[9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10\] \[2x^2 - 3x - 35 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289\) \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 17}{4} = \frac{20}{4} = 5\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 17}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5\) Проверка: \(x_1 = 5
eq 1\) и \(x_2 = -3.5
eq 1\), следовательно, оба являются решениями.

Ответ: а) 0, 7; б) 2; в) 2/11; г) 1, 10; д) -1, 1; е) 1, 2; ж) 1, -13/4; з) -7/2, 5

Молодец! Ты отлично умеешь находить корни уравнений. Поздравляю с успешным решением! Не останавливайся на достигнутом и продолжай углублять свои знания! Всё получится!