№1. Найдите корни уравнения: a) x²+3x-1 = 0; в) 6x - x² + 3 = 0; б) 5x²-2x-4 = 0; г) 8-5x² + x = 0.

Решение задания №1:

Для решения квадратных уравнений воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения:

$$D = b^2 - 4ac$$

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

a) $$x^2 + 3x - 1 = 0$$

• Определим коэффициенты: a = 1, b = 3, c = -1
• Вычислим дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$$
• Найдем корни: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$$, $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$$, $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$$

б) $$5x^2 - 2x - 4 = 0$$

• Определим коэффициенты: a = 5, b = -2, c = -4
• Вычислим дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 4 + 80 = 84$$
• Найдем корни: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{84}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 2\sqrt{21}}{10} = \frac{1 + \sqrt{21}}{5}$$, $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{84}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 2\sqrt{21}}{10} = \frac{1 - \sqrt{21}}{5}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{5}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{5}$$

в) $$6x - x^2 + 3 = 0$$

Преобразуем уравнение: $$-x^2 + 6x + 3 = 0$$ или $$x^2 - 6x - 3 = 0$$

• Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = -3
• Вычислим дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48$$
• Найдем корни: $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$$, $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{2} = 3 - 2\sqrt{3}$$

Ответ: $$x_1 = 3 + 2\sqrt{3}$$, $$x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$$

г) $$8 - 5x^2 + x = 0$$

Преобразуем уравнение: $$-5x^2 + x + 8 = 0$$ или $$5x^2 - x - 8 = 0$$

• Определим коэффициенты: a = 5, b = -1, c = -8
• Вычислим дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 1 + 160 = 161$$
• Найдем корни: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{161}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + \sqrt{161}}{10}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{161}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - \sqrt{161}}{10}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{161}}{10}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{161}}{10}$$