1. Найдите корни уравнения: a) x²-11x+24=0 б) 5x²-14x+8=0 2.Решите уравнение: a) x⁴-13x²+36=0 б)x⁴-5x²-36=0 3. Не решая, найдите знаки корней уравнения: a)3x²+7x+2=0 б)5x²-13x+6=0 4. Найдите корни уравнения: a) 4x²+4x+1=0 б) 9x²-12x+4=0 5. Составьте квадратное уравнение, зная его корни: a) x₁=3 x₂=-5 б) x₁=4 x₂=0

Ответ:

1. Найдите корни уравнения:

a) x² - 11x + 24 = 0

• Шаг 1: Вычисляем дискриминант по формуле D = b² - 4ac.

\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25\]

• Шаг 2: Находим корни уравнения по формулам x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b - √D) / (2a).

\[x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Ответ: x₁ = 8, x₂ = 3

б) 5x² - 14x + 8 = 0

• Шаг 1: Вычисляем дискриминант по формуле D = b² - 4ac.

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 196 - 160 = 36\]

• Шаг 2: Находим корни уравнения по формулам x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b - √D) / (2a).

\[x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2\]

\[x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 6}{10} = \frac{8}{10} = 0.8\]

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 0.8

2. Решите уравнение:

a) x⁴ - 13x² + 36 = 0

• Шаг 1: Пусть t = x². Тогда уравнение принимает вид t² - 13t + 36 = 0.

• Шаг 2: Вычисляем дискриминант для t² - 13t + 36 = 0.

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\]

• Шаг 3: Находим корни t₁ и t₂.

\[t_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[t_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

• Шаг 4: Возвращаемся к переменной x. x² = t, значит x = ±√t.

\[x_1 = \sqrt{9} = 3, \quad x_2 = -\sqrt{9} = -3\]

\[x_3 = \sqrt{4} = 2, \quad x_4 = -\sqrt{4} = -2\]

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 2, x₄ = -2

б) x⁴ - 5x² - 36 = 0

• Шаг 1: Пусть t = x². Тогда уравнение принимает вид t² - 5t - 36 = 0.

• Шаг 2: Вычисляем дискриминант для t² - 5t - 36 = 0.

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\]

• Шаг 3: Находим корни t₁ и t₂.

\[t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

• Шаг 4: Возвращаемся к переменной x. x² = t, значит x = ±√t.

\[x_1 = \sqrt{9} = 3, \quad x_2 = -\sqrt{9} = -3\]

Так как x² не может быть отрицательным, то корень из -4 не существует.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -3

3. Не решая, найдите знаки корней уравнения:

a) 3x² + 7x + 2 = 0

По теореме Виета, для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

В данном случае, a = 3, b = 7, c = 2.

• x₁ + x₂ = -7/3 (отрицательное число)
• x₁ * x₂ = 2/3 (положительное число)

Поскольку сумма корней отрицательна, а произведение положительно, оба корня отрицательны.

Ответ: Оба корня отрицательные

б) 5x² - 13x + 6 = 0

В данном случае, a = 5, b = -13, c = 6.

• x₁ + x₂ = -(-13)/5 = 13/5 (положительное число)
• x₁ * x₂ = 6/5 (положительное число)

Поскольку сумма корней положительна и произведение положительно, оба корня положительны.

Ответ: Оба корня положительные

4. Найдите корни уравнения:

a) 4x² + 4x + 1 = 0

Это уравнение можно представить как (2x + 1)² = 0.

Тогда, 2x + 1 = 0

2x = -1

\[x = -\frac{1}{2}\]

Ответ: x = -0.5

б) 9x² - 12x + 4 = 0

Это уравнение можно представить как (3x - 2)² = 0.

Тогда, 3x - 2 = 0

3x = 2

\[x = \frac{2}{3}\]

Ответ: x = 2/3

5. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

a) x₁ = 3, x₂ = -5

Если известны корни x₁ и x₂, то квадратное уравнение имеет вид:

x² - (x₁ + x₂)x + x₁ * x₂ = 0

В данном случае, x₁ = 3, x₂ = -5.

x₁ + x₂ = 3 + (-5) = -2

x₁ * x₂ = 3 * (-5) = -15

Тогда уравнение:

x² - (-2)x + (-15) = 0

x² + 2x - 15 = 0

Ответ: x² + 2x - 15 = 0

б) x₁ = 4, x₂ = 0

В данном случае, x₁ = 4, x₂ = 0.

x₁ + x₂ = 4 + 0 = 4

x₁ * x₂ = 4 * 0 = 0

Тогда уравнение:

x² - 4x + 0 = 0

x² - 4x = 0

Ответ: x² - 4x = 0

Ответ: x² + 2x - 15 = 0

Ответ: x² - 4x = 0