542. Найдите корни уравнения: a) (2x-3)(5x + 1) = 2x +;; b) (t-1)(t+1) = 2(5t-10);; б) (Зу - 1)(у + 3) = y(1 + 6y); г) -2(z + 7) = (z - 2)(z + 2).

а) $$(2x-3)(5x+1)=2x+\frac{2}{5}$$

Решим уравнение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: $$10x^2+2x-15x-3 = 2x + \frac{2}{5}$$ $$10x^2 -13x-3 = 2x+\frac{2}{5}$$
2. Перенесем все члены в левую часть: $$10x^2-13x-2x-3-\frac{2}{5}=0$$ $$10x^2-15x-\frac{15}{5}-\frac{2}{5}=0$$ $$10x^2-15x-\frac{17}{5}=0$$
3. Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби: $$50x^2-75x-17=0$$
4. Найдем дискриминант: $$D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025$$
5. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-75)+\sqrt{9025}}{2 \cdot 50} = \frac{75+95}{100}=\frac{170}{100} = 1.7$$ $$x_2 = \frac{-(-75)-\sqrt{9025}}{2 \cdot 50} = \frac{75-95}{100} = \frac{-20}{100} = -0.2$$

Ответ: $$x_1 = 1.7$$, $$x_2 = -0.2$$

в) $$(t-1)(t+1)=2(5t-10\frac{1}{2})$$

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$ $$t^2-1=2(5t-10\frac{1}{2})$$
2. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $$10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$$
3. Раскроем скобки в правой части уравнения: $$t^2-1 = 2(5t-\frac{21}{2})$$ $$t^2-1=10t-21$$
4. Перенесем все члены в левую часть: $$t^2-10t-1+21=0$$ $$t^2-10t+20=0$$
5. Найдем дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 - 80 = 20$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
6. Найдем корни уравнения: $$t_1 = \frac{-(-10)+2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{10+2\sqrt{5}}{2}=5+\sqrt{5}$$ $$t_2 = \frac{-(-10)-2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{10-2\sqrt{5}}{2}=5-\sqrt{5}$$

Ответ: $$t_1 = 5+\sqrt{5}$$, $$t_2 = 5-\sqrt{5}$$

б) $$(3y-1)(y+3)=y(1+6y)$$

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$3y^2+9y-y-3=y+6y^2$$ $$3y^2+8y-3=y+6y^2$$
2. Перенесем все члены в левую часть: $$3y^2-6y^2+8y-y-3=0$$ $$-3y^2+7y-3=0$$
3. Умножим обе части уравнения на -1: $$3y^2-7y+3=0$$
4. Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2-4 \cdot 3 \cdot 3=49-36=13$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{13}$$
5. Найдем корни уравнения: $$y_1 = \frac{-(-7)+\sqrt{13}}{2 \cdot 3}=\frac{7+\sqrt{13}}{6}$$ $$y_2 = \frac{-(-7)-\sqrt{13}}{2 \cdot 3}=\frac{7-\sqrt{13}}{6}$$

Ответ: $$y_1 = \frac{7+\sqrt{13}}{6}$$, $$y_2 = \frac{7-\sqrt{13}}{6}$$

г) $$-2(z+7)=(z-2)(z+2)$$

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $$-2z-14=z^2-4$$
2. Перенесем все члены в правую часть уравнения: $$z^2+2z-4+14=0$$ $$z^2+2z+10=0$$
3. Найдем дискриминант: $$D = 2^2-4 \cdot 1 \cdot 10=4-40=-36$$ Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней