600. Найдите корни уравнения: a) y²/y+3 = y/y+3; б) x²/x²-4 = 5x-6/x²-4; в) 2x²/x-2 = -7x+6/2-x; г) y²-6y/y-5 = 5/5-y; д) 2x-1/x+7 = 3x+4/x-1; e) 2y+3/2y-1 = y-5/y+2; ж) 5y+1/y+1 = y+2/y; з) 1+3x/1-2x = 5-3x/1+2x; и) x-1/2x+3 - 2x-1/3-2x = 0.

Решим уравнения.

а) $$\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3};$$

ОДЗ: $$y
e -3$$

$$y^2 = y$$

$$y^2 - y = 0$$

$$y(y-1) = 0$$

$$y = 0$$ или $$y = 1$$

Ответ: 0; 1

---

б) $$\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4};$$

ОДЗ: $$x
e \pm 2$$

$$x^2 = 5x - 6$$

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}x_1 + x_2 = 5\\x_1 \cdot x_2 = 6\end{cases}$$

$$x_1 = 2$$ и $$x_2 = 3$$

Так как $$x
e 2$$, то корень $$x = 2$$ - посторонний.

Ответ: 3

---

в) $$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x};$$

$$\frac{2x^2}{x-2} = -\frac{-7x+6}{x-2};$$

ОДЗ: $$x
e 2$$

$$2x^2 = 7x - 6$$

$$2x^2 - 7x + 6 = 0$$

$$D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$

$$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$$

$$x_2 = \frac{7 + 1}{4} = 2$$

Так как $$x
e 2$$, то корень $$x = 2$$ - посторонний.

Ответ: 1,5

---

г) $$\frac{y^2 - 6y}{y-5} = \frac{5}{5-y};$$

$$\frac{y^2 - 6y}{y-5} = -\frac{5}{y-5};$$

ОДЗ: $$y
e 5$$

$$y^2 - 6y = -5$$

$$y^2 - 6y + 5 = 0$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}y_1 + y_2 = 6\\y_1 \cdot y_2 = 5\end{cases}$$

$$y_1 = 1$$ и $$y_2 = 5$$

Так как $$y
e 5$$, то корень $$y = 5$$ - посторонний.

Ответ: 1

---

д) $$\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1};$$

ОДЗ: $$x
e -7$$ и $$x
e 1$$

$$(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)$$

$$2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28$$

$$2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$$

$$x^2 + 28x + 27 = 0$$

По теореме Виета:

$$\begin{cases}x_1 + x_2 = -28\\x_1 \cdot x_2 = 27\end{cases}$$

$$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -27$$

Так как $$x
e -1$$, то корень $$x = -1$$ - посторонний.

Ответ: -27

---

e) $$\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+2};$$

ОДЗ: $$y
e -2$$ и $$y
e \frac{1}{2}$$

$$(2y+3)(y+2) = (y-5)(2y-1)$$

$$2y^2 + 4y + 3y + 6 = 2y^2 - y - 10y + 5$$

$$2y^2 + 7y + 6 = 2y^2 - 11y + 5$$

$$18y = -1$$

$$y = -\frac{1}{18}$$

Ответ: -1/18

---

ж) $$\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y};$$

ОДЗ: $$y
e -1$$ и $$y
e 0$$

$$y(5y+1) = (y+2)(y+1)$$

$$5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2$$

$$4y^2 - 2y - 2 = 0$$

$$2y^2 - y - 1 = 0$$

$$D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9$$

$$y_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$$

Ответ: -0,5; 1

---

з) $$\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x};$$

ОДЗ: $$x
e \pm \frac{1}{2}$$

$$(1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)$$

$$1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2$$

$$5x + 1 = 5 - 13x$$

$$18x = 4$$

$$x = \frac{2}{9}$$

Ответ: 2/9

---

и) $$\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0;$$

ОДЗ: $$x
e -\frac{3}{2}$$ и $$x
e \frac{3}{2}$$

$$\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x};$$

$$(x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3)$$

$$3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3$$

$$-2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3$$

$$6x^2 - x = 0$$

$$x(6x-1) = 0$$

$$x = 0$$ или $$x = \frac{1}{6}$$

Ответ: 0; 1/6