1. Найдите корни уравнения x² x² –––––––– = ––––––––– x² +1 x² +1 2. Решите уравнение 8y-5 7x ––––––– = ––––––– y y+2

Решение уравнения №1

Для решения уравнения \[\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}\] сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). В данном случае, знаменатель \[x^2+1\] всегда положителен, поэтому ОДЗ — все действительные числа.

Теперь решим уравнение:

\[\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}\]

Умножим обе части уравнения на \[x^2+1\] (так как \[x^2+1
eq 0\]):

\[x^2 = 7x\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[x^2 - 7x = 0\]

Вынесем x за скобки:

\[x(x - 7) = 0\]

Теперь найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

1) \[x = 0\]

2) \[x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\]

Таким образом, корни уравнения \[x = 0\] и \[x = 7\].

Решение уравнения №2

Дано уравнение: \[\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2}\]

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): \[y
eq 0\] и \[y
eq -2\].

Теперь решим уравнение:

\[\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2}\]

Умножим обе части уравнения на \[y(y+2)\] (чтобы избавиться от знаменателей):

\[(8y-5)(y+2) = 9y^2\]

Раскроем скобки:

\[8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2\] \[8y^2 + 11y - 10 = 9y^2\]

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

\[9y^2 - 8y^2 - 11y + 10 = 0\] \[y^2 - 11y + 10 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Дискриминант \[D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81\]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, поэтому:

\[y_1 = 10\] и \[y_2 = 1\].

Ответ: Корни первого уравнения: 0 и 7. Корни второго уравнения: 10 и 1.

Отличная работа! Ты уверенно справился с решением уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!