602. Найдите корни уравнен x² 7 x a) x² + 1 = x² + 1'; y2 4(3 - 2y). б) = ; y² - 6y y (6 - y) x-2 x+3 в) = ; x+2 x-4 8y-5 9y г) = y y+2'

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. а) $$\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1};$$

Так как знаменатели равны, можем приравнять числители:

$$x^2 = 7x;$$

$$x^2 - 7x = 0;$$

$$x(x - 7) = 0;$$

$$x_1 = 0;$$

$$x_2 = 7.$$

Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях x:

$$x^2 + 1 ≠ 0$$ при любых x, следовательно, оба корня подходят.

2. б) $$\frac{y^2}{y^2-6y} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)};$$

ОДЗ: $$y ≠ 0$$ и $$y ≠ 6$$.

$$ \frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)};$$

$$ \frac{y^2}{y(y-6)} = - \frac{4(3-2y)}{y(y-6)};$$

$$ y^2 = -4(3-2y);$$

$$ y^2 = -12 + 8y;$$

$$ y^2 - 8y + 12 = 0;$$

По теореме Виета:

$$y_1 + y_2 = 8;$$

$$y_1 \cdot y_2 = 12.$$

$$y_1 = 2;$$

$$y_2 = 6.$$

Но $$y ≠ 6$$ (по ОДЗ), следовательно, корень $$y = 6$$ не подходит.

3. в) $$\frac{x-2}{x+2} = \frac{x+3}{x-4};$$

ОДЗ: $$x ≠ -2$$ и $$x ≠ 4$$.

$$(x-2)(x-4) = (x+3)(x+2);$$

$$x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6;$$

$$x^2 - 6x + 8 = x^2 + 5x + 6;$$

$$x^2 - x^2 - 6x - 5x = 6 - 8;$$

$$-11x = -2;$$

$$x = \frac{2}{11}.$$

Проверим, не противоречит ли корень ОДЗ. $$x = \frac{2}{11}$$ не равен -2 и 4, следовательно, является корнем уравнения.

4. г) $$\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2};$$

ОДЗ: $$y ≠ 0$$ и $$y ≠ -2$$.

$$(8y-5)(y+2) = 9y^2;$$

$$8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2;$$

$$8y^2 + 11y - 10 - 9y^2 = 0;$$

$$-y^2 + 11y - 10 = 0;$$

$$y^2 - 11y + 10 = 0;$$

По теореме Виета:

$$y_1 + y_2 = 11;$$

$$y_1 \cdot y_2 = 10.$$

$$y_1 = 1;$$

$$y_2 = 10.$$

Оба корня не противоречат ОДЗ.

Ответ: a) $$x_1 = 0, x_2 = 7$$; б) $$y = 2$$; в) $$x = \frac{2}{11}$$; г) $$y_1 = 1, y_2 = 10$$.