Найдите косинус угла $$ACB$$ треугольника $$ABC$$ с координатами точек $$A(2; 8)$$, $$B(-1; 5)$$, $$C(3; 1)$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ с заданными координатами вершин $$A(2; 8)$$, $$B(-1; 5)$$, $$C(3; 1)$$.

Для нахождения косинуса угла $$ACB$$, воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника:

• Длина стороны $$AC$$: $$AC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 8)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$$
• Длина стороны $$BC$$: $$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$
• Длина стороны $$AB$$: $$AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$$

Теперь используем теорему косинусов для угла $$ACB$$: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos{\angle ACB}$$ Подставим известные значения: $$18 = 50 + 32 - 2 \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{32} \cdot \cos{\angle ACB}$$ $$18 = 82 - 2 \cdot \sqrt{1600} \cdot \cos{\angle ACB}$$ $$2 \cdot \sqrt{1600} \cdot \cos{\angle ACB} = 82 - 18$$ $$2 \cdot 40 \cdot \cos{\angle ACB} = 64$$ $$80 \cdot \cos{\angle ACB} = 64$$ $$\cos{\angle ACB} = \frac{64}{80} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

Ответ:$$\frac{4}{5}$$