Найдите lgx, если x = \( \sqrt[3]{\frac{n}{\sqrt{n\cdot m}}} \cdot \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} \).

Решение:

Упростим выражение для \( x \) шаг за шагом:

1. Преобразуем первый множитель: \( \sqrt[3]{\frac{n}{\sqrt{n\cdot m}}} = \left( \frac{n}{(n\cdot m)^{\frac{1}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n \cdot (n\cdot m)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n^{1-\frac{1}{2}} \cdot m^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( n^{\frac{1}{2}} \cdot m^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{3}} = n^{\frac{1}{6}} \cdot m^{-\frac{1}{6}} \).
2. Преобразуем второй множитель: \( \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} = \left( \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{4}} = \frac{n^{\frac{1}{4}}}{m^{\frac{1}{4}}} = n^{\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{4}} \).
3. Теперь перемножим оба множителя, чтобы найти \( x \):

\[ x = \left( n^{\frac{1}{6}} \cdot m^{-\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( n^{\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{4}} \right) \]

\[ x = n^{\frac{1}{6}+\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}} \]

Приведём показатели степени к общему знаменателю:

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2+3}{12} = \frac{5}{12} \)

\( -\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = -\frac{5}{12} \)

Таким образом, \( x = n^{\frac{5}{12}} \cdot m^{-\frac{5}{12}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{5}{12}} \).

Теперь нужно найти \( \lg x \). По определению десятичного логарифма:

\[ \lg x = \lg \left( \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{5}{12}} \right) \]

Используем свойство логарифма \( \lg(a^b) = b \lg a \):

\[ \lg x = \frac{5}{12} \lg \left( \frac{n}{m} \right) \]

Используем свойство логарифма \( \lg(\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b \):

\[ \lg x = \frac{5}{12} (\lg n - \lg m) \]

Обратите внимание: В условии задачи есть число 10, которое не использовалось. Также, если под корнем второго множителя стоит \( \frac{n}{m} \) в степени \( \frac{1}{2} \) (то есть \( \sqrt{\frac{n}{m}} \)), то решение будет иным.

Предположим, что второй множитель -- это \( \sqrt{\frac{n}{m}} \) (т.е. \( \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{2}} \) под корнем, а не вся дробь в степени 1/2).

\[ \sqrt{\frac{n}{m}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{2}} = n^{\frac{1}{2}} m^{-\frac{1}{2}} \]

\[ x = \left( n^{\frac{1}{6}} \cdot m^{-\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( n^{\frac{1}{2}} \cdot m^{-\frac{1}{2}} \right) \]

\[ x = n^{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}} \cdot m^{-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}} \]

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1+3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

\( -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \)

\[ x = n^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{2}{3}} \]

\[ \lg x = \lg \left( \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{3} \lg \left( \frac{n}{m} \right) = \frac{2}{3} (\lg n - \lg m) \]

Если же второй множитель \( \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} \) означает \( \sqrt{\sqrt{\frac{n}{m}}} = \sqrt[4]{\frac{n}{m}} \), то:

\[ x = \left( n^{\frac{1}{6}} \cdot m^{-\frac{1}{6}} \right) \cdot \left( n^{\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{4}} \right) \]

\[ x = n^{\frac{1}{6}+\frac{1}{4}} \cdot m^{-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}} = n^{\frac{5}{12}} m^{-\frac{5}{12}} = \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{5}{12}} \]

\[ \lg x = \lg \left( \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{5}{12}} \right) = \frac{5}{12} \lg \left( \frac{n}{m} \right) = \frac{5}{12} (\lg n - \lg m) \]

Если учесть число 10, которое появилось внизу, возможно, речь идет о \( \log_{10} x \), что и есть \( \lg x \).

Если предположить, что \( n=10 \) и \( m=1 \) (или \( n=1 \) и \( m=1/10 \), и т.д.), то можно получить числовое значение. Но без этого, ответ остается в виде \( n \) и \( m \).

В задаче написано "найдите lgx", значит, ответ должен быть в виде выражения.

Принимаем наиболее вероятную интерпретацию второго множителя как \( \sqrt{\frac{n}{m}} \).

Тогда \( x = \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{2}{3}} \).

\[ \lg x = \frac{2}{3} (\lg n - \lg m) \]

Если же принять \( \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} \) как \( \sqrt[4]{\frac{n}{m}} \), тогда \( x = \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{5}{12}} \) и \( \lg x = \frac{5}{12} (\lg n - \lg m) \).

Без уточнений, оба варианта возможны. Выберем вариант, где \( \sqrt{\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{2}}} \) = \( \sqrt[4]{\frac{n}{m}} \).

Окончательный ответ:

\( \lg x = \frac{5}{12} (\lg n - \lg m) \)