Найдите ∠MCA

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle BCA = 90^{\circ} \]
• \[ \angle BAC = 70^{\circ} \]
• \[ CM = MA \text{ (M - середина гипотенузы)} \]

Решение:

1. 
   

   В прямоугольном треугольнике ABC, сумма углов равна 180 градусов. Следовательно,
   \[ \angle CBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \]

   
   
2. 
   

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно,
   \[ CM = MA = MB \]

   
   
3. 
   

   Рассмотрим
   \[ \triangle CMA \]

   
   

   Так как CM = MA, то
   \[ \triangle CMA \text{ - равнобедренный.} \]

   
   

   Углы при основании равны:
   \[ \angle MCA = \angle MAC \]

   
   
4. 
   

   Мы знаем, что
   \[ \angle MAC = \angle BAC = 70^{\circ} \]

   
   

   Следовательно,
   \[ \angle MCA = 70^{\circ} \]

   
   
5. 
   

   Проверим сумму углов в
   \[ \triangle CMA \]

   
   

   
   \[ \angle CMA = 180^{\circ} - (\angle MCA + \angle MAC) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \]

   
   

   Угол CMA является внешним для
   \[ \triangle CMB \]

   
   

   
   \[ \angle CMA = \angle MCB + \angle CBM \]

   
   

   Угол MCB = 90 - Угол MCA = 90 - 70 = 20 градусов.

   
   

   Угол CBM = Угол CBA = 20 градусов.

   
   

   
   \[ \angle CMA = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ} \]

   
   

   Расчеты сходятся.

   
   

Ответ: 70\(\beg\)