Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: A (0;1), B (1; −4), C (5; 2).

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты точки M – середины отрезка BC.
2. Вычислить длину медианы AM, используя формулу расстояния между двумя точками.

1. Координаты точки M – середины отрезка BC, определяются как полусумма соответствующих координат точек B и C:

$$M_x = \frac{B_x + C_x}{2}$$, $$M_y = \frac{B_y + C_y}{2}$$

Подставляем координаты точек B(1; -4) и C(5; 2):

$$M_x = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$M_y = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Итак, координаты точки M(3; -1).

2. Длина медианы AM вычисляется по формуле расстояния между двумя точками A(0; 1) и M(3; -1):

$$AM = \sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2}$$

Подставляем координаты точек A(0; 1) и M(3; -1):

$$AM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Итак, длина медианы AM равна \(\sqrt{13}\).

Ответ: \(\sqrt{13}\)