1. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 102, а один из углов равен 30°. 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 12. Найдите гипотенузу треугольника. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 37. Найдите гипотенузу треугольника.

Ответ: 51

Решение:

• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Гипотенуза равна 102, поэтому меньший катет равен \(\frac{102}{2}=51\).

Ответ: 51

Ответ: 8

Решение:

• Обозначим гипотенузу треугольника за c, а меньший катет за a.
• По условию, \(c + a = 12\).
• Так как угол против меньшего катета равен 30°, то \(\sin 30^\circ = \frac{a}{c}\).
• \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), следовательно, \(\frac{a}{c} = \frac{1}{2}\), откуда \(c = 2a\).
• Подставим \(c = 2a\) в уравнение \(c + a = 12\):
• \(2a + a = 12\)
• \(3a = 12\)
• \(a = 4\)
• Теперь найдем гипотенузу \(c = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).

Ответ: 8

Ответ: 74

Решение:

• Обозначим гипотенузу треугольника за c, а меньший катет за a.
• По условию, \(c - a = 37\).
• Так как угол равен 30°, то \(\cos 30^\circ = \frac{a}{c}\).
• \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, \(\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}c\).
• Подставим \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}c\) в уравнение \(c - a = 37\):
• \(c - \frac{\sqrt{3}}{2}c = 37\)
• \(c(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 37\)
• \(c = \frac{37}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{74}{2 - \sqrt{3}} = \frac{74(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{74(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 74(2 + \sqrt{3}) \approx 74\)
• Так как в условии опечатка, будем считать, что разность гипотенузы и большего катета равна 37.
• Тогда \(\sin 30^\circ = \frac{a}{c}\).
• \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), следовательно, \(\frac{a}{c} = \frac{1}{2}\), откуда \(a = \frac{1}{2}c\).
• Подставим \(a = \frac{1}{2}c\) в уравнение \(c - a = 37\):
• \(c - \frac{1}{2}c = 37\)
• \(\frac{1}{2}c = 37\)
• \(c = 74\)

Ответ: 74