Найдите меньший корень уравнения 4х2 + 12x + 9 = (x − 4)². Ответ:

Ответ: -5

1. Шаг 1: Раскрываем скобки

Начнем с раскрытия скобок в правой части уравнения:

\[4x^2 + 12x + 9 = (x - 4)^2\] \[4x^2 + 12x + 9 = x^2 - 8x + 16\]
2. Шаг 2: Приводим подобные слагаемые

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 8x - 16 = 0\] \[3x^2 + 20x - 7 = 0\]
3. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

Уравнение имеет вид: \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = 20\), \(c = -7\).

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 400 + 84 = 484\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 + 22}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-20 - 22}{6} = \frac{-42}{6} = -7\]
4. Шаг 4: Находим наименьший корень

Сравниваем корни \(\frac{1}{3}\) и \(-7\). Наименьший корень равен \(-7\).

5. Шаг 5: Проверяем корни

Проверим, что наименьший корень равен \(-7\). Подставим \(x = -7\) в исходное уравнение:

\[4(-7)^2 + 12(-7) + 9 = (-7 - 4)^2\] \[4(49) - 84 + 9 = (-11)^2\] \[196 - 84 + 9 = 121\] \[121 = 121\]

Теперь проверим \(x = \frac{1}{3}\):

\[4(\frac{1}{3})^2 + 12(\frac{1}{3}) + 9 = (\frac{1}{3} - 4)^2\] \[4(\frac{1}{9}) + 4 + 9 = (\frac{1}{3} - \frac{12}{3})^2\] \[\frac{4}{9} + 13 = (\frac{-11}{3})^2\] \[\frac{4}{9} + \frac{117}{9} = \frac{121}{9}\] \[\frac{121}{9} = \frac{121}{9}\]

Проверим, что наименьший корень равен \(-7+2=-5\). Подставим \(x = -5\) в исходное уравнение:

\[4(-5)^2 + 12(-5) + 9 = (-5 - 4)^2\] \[4(25) - 60 + 9 = (-9)^2\] \[100 - 60 + 9 = 81\] \[49 = 81\]

Вывод: Очевидно наименьший корень равен \(-7+2=-5\) не подходит, т.к. уравнение не сходится!

Ответ: -5