Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC угол 30° и с боковой стороной CD угол 105° соответственно.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть \(\angle BCA = 30^{\circ}\), \(\angle ACD = 105^{\circ}\). Тогда \(\angle BAC = \angle ACD = 105^{\circ}\) (как углы при основании). \(\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC\). Поскольку сумма углов в трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^{\circ}\), то \(\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD\). Также, \(\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 30^{\circ} + 105^{\circ} = 135^{\circ}\). Следовательно, \(\angle ADC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}\). \(\angle ABC = \angle BCD = 135^{\circ}\) (как углы при большем основании). \(\angle BAD = \angle CDA = 45^{\circ}\) (как углы при меньшем основании). \(\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 45^{\circ} - x\). Значит, меньший угол трапеции равен 45°. Другой подход: \(\angle BAC = 180 - (\angle ABC + \angle BCA) = 180 - (30+x)\), где x —угол. Меньший угол трапеции равен 45°.