Найдите множество решений неравенства 4x² + 4x + 1 ≤0. 1) (-∞; +∞); 2) (-∞; -0,5) ∪ (-0,5; +∞); 3) -0,5; 4) Ø.

Решение:

Для решения неравенства 4x² + 4x + 1 ≤ 0, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения 4x² + 4x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• a = 4, b = 4, c = 1
• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

• x = -b / (2a) = -4 / (2 * 4) = -4 / 8 = -0,5

Теперь рассмотрим само неравенство 4x² + 4x + 1 ≤ 0. Квадратный трехчлен 4x² + 4x + 1 является полным квадратом:

• 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)²

Таким образом, неравенство принимает вид:

• (2x + 1)² ≤ 0

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Единственный случай, когда квадрат числа равен нулю, это когда само число равно нулю.

Следовательно, (2x + 1)² ≤ 0 возможно только при (2x + 1)² = 0, что выполняется только при x = -0,5.

Однако, в данном случае нас интересует множество решений неравенства. Поскольку (2x + 1)² всегда ≥ 0, то неравенство (2x + 1)² ≤ 0 выполняется только тогда, когда (2x + 1)² = 0, то есть при x = -0,5. Если бы неравенство было строго < 0, то решений не было бы. Но так как ≤ 0, то единственным решением является x = -0,5.

Рассмотрим предложенные варианты:

• 1) (-∞; +∞) — все действительные числа. Не подходит, так как мы нашли конкретное решение.
• 2) (-∞; -0,5) ∪ (-0,5; +∞) — все действительные числа, кроме -0,5. Не подходит, так как -0,5 является решением.
• 3) -0,5 — единственное решение. Подходит.
• 4) Ø (пустое множество) — нет решений. Не подходит.

Отметим, что вариант 3) просто указывает значение, а не интервал. В контексте множества решений, если есть только одно число, это обычно указывается как интервал, содержащий только это число, или как множество из одного элемента. В данном случае, если выбирать из предложенных, то -0,5 является единственной точкой, удовлетворяющей условию.

Часто в таких случаях, если возможно только одно значение, его либо указывают как отдельный вариант, либо как множество, содержащее это значение. Если бы требовалось указать интервал, то это было бы [-0.5, -0.5].

Исходя из предложенных вариантов, наиболее подходящим является вариант, который включает единственное решение.

Возможно, подразумевается, что мы ищем точки, где функция равна 0. И таких точек одна: x = -0.5. Если бы неравенство было строго < 0, то ответом было бы пустое множество.

Поскольку (2x+1)² ≥ 0 для всех x, то неравенство (2x+1)² ≤ 0 выполняется только в случае, когда (2x+1)² = 0, что происходит при x = -0.5.

Таким образом, множество решений состоит из одной точки: {-0.5}.

Среди предложенных вариантов, вариант 3) "-0,5" наиболее точно отражает это решение, хотя обычно оно представляется в виде множества, а не просто числа.

Финальный ответ:

Ответ: 3) -0,5