296. Найдите множество решений неравенства: a) \(\frac{x-1}{x-3} \ge 0\); б) \(\frac{x+6}{x-5} \le 0\); в) \(\frac{2-x}{x} \ge 0\); г) \(\frac{3-2x}{x-1} \le 0\); д) \(\frac{7x-2}{1-x} \ge 0\); e) \(\frac{1-11x}{2x-3} < 0\).

Решим каждое неравенство отдельно.

a) \(\frac{x-1}{x-3} \ge 0\);

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(x-1=0\) => \(x=1\)

\(x-3=0\) => \(x=3\)

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +       -       +
----(1)-----(3)-----

Выбираем интервалы со знаком "+", а также точку \(x=1\), так как неравенство нестрогое. Точку \(x=3\) не включаем, так как на нее делить нельзя.

Решением неравенства является \(x \in (-\infty; 1] \cup (3; +\infty)\)

б) \(\frac{x+6}{x-5} \le 0\);

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(x+6=0\) => \(x=-6\)

\(x-5=0\) => \(x=5\)

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +       -       +
----(-6)-----(5)-----

Выбираем интервалы со знаком "-", а также точку \(x=-6\), так как неравенство нестрогое. Точку \(x=5\) не включаем, так как на нее делить нельзя.

Решением неравенства является \(x \in [-6; 5)\)

в) \(\frac{2-x}{x} \ge 0\);

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(2-x=0\) => \(x=2\)

\(x=0\)

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    -       +       -
----(0)-----(2)-----

Выбираем интервалы со знаком "+", а также точку \(x=2\), так как неравенство нестрогое. Точку \(x=0\) не включаем, так как на нее делить нельзя.

Решением неравенства является \(x \in (0; 2]\)

г) \(\frac{3-2x}{x-1} \le 0\);

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(3-2x=0\) => \(x=\frac{3}{2} = 1.5\)

\(x-1=0\) => \(x=1\)

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +       -       +
----(1)-----(1.5)-----

Выбираем интервалы со знаком "-", а также точку \(x=1.5\), так как неравенство нестрогое. Точку \(x=1\) не включаем, так как на нее делить нельзя.

Решением неравенства является \(x \in (-\infty; 1) \cup [1.5; +\infty)\)

д) \(\frac{7x-2}{1-x} \ge 0\);

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(7x-2=0\) => \(x=\frac{2}{7}\)

\(1-x=0\) => \(x=1\)

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    -       +       -
----(2/7)-----(1)-----

Выбираем интервалы со знаком "+", а также точку \(x=\frac{2}{7}\), так как неравенство нестрогое. Точку \(x=1\) не включаем, так как на нее делить нельзя.

Решением неравенства является \(x \in [\frac{2}{7}; 1)\)

е) \(\frac{1-11x}{2x-3} < 0\).

Найдем нули числителя и знаменателя:

\(1-11x=0\) => \(x=\frac{1}{11}\)

\(2x-3=0\) => \(x=\frac{3}{2}=1.5\)

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +       -       +
----(1/11)-----(1.5)-----

Выбираем интервалы со знаком "-". Точки \(x=\frac{1}{11}\) и \(x=1.5\) не включаем, так как неравенство строгое и на знаменатель делить нельзя.

Решением неравенства является \(x \in (-\infty; \frac{1}{11}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)\)

Ответ: a) \(x \in (-\infty; 1] \cup (3; +\infty)\); б) \(x \in [-6; 5)\); в) \(x \in (0; 2]\); г) \(x \in (-\infty; 1) \cup [1.5; +\infty)\); д) \(x \in [\frac{2}{7}; 1)\); е) \(x \in (-\infty; \frac{1}{11}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)\)