Найдите n в равенстве \(\frac{54^{25} \cdot 54^{18}}{54^n} = 54^{21}\).

Решение:

Для решения уравнения используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Упростим числитель дроби: \( 54^{25} \cdot 54^{18} = 54^{25+18} = 54^{43} \).
2. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{54^{43}}{54^n} = 54^{21} \).
3. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( 54^{43-n} = 54^{21} \).
4. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели степеней: \( 43 - n = 21 \).
5. Решим полученное уравнение относительно \( n \): \( n = 43 - 21 \).
6. \( n = 22 \).

Ответ: n = 22.